题目内容
宇宙中存在一些离其它恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其它星体对它们的引力作用．已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为 R 的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个项点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行．设三颗星质量相等，每个星体的质量均为m．（已知万有引力常量G）
（1）试求第一种情况下，星体运动的线速度和周期
（2）假设第二种情况下星体之间的距离为R，求星体运动的线速度和周期．
（1）试求第一种情况下，星体运动的线速度和周期
（2）假设第二种情况下星体之间的距离为R，求星体运动的线速度和周期．
分析：（1）画出三颗星位置示意图．两侧的星由另外两个星的万有引力的合力提供向心力，列式求解线速度和周期．
（2）对于任意一个星体，由另外两个星体的万有引力的合力提供向心力，列式求解线速度和周期．
（2）对于任意一个星体，由另外两个星体的万有引力的合力提供向心力，列式求解线速度和周期．
解答：
解：（1）第一种形式下，星体A探马星体B和星体C两个万有引力，它们的合力充当向心力，则：
+
=m
=m
R
解得，线速度 v=
，周期 T=2πR
（2）第二种情形下，星体之间的距离为R，那么圆周运动的半径 r=
=
星体A受的合力 F合=2
cos30°=
故有
=m
联立解得，v=
，T=
=2πR
答：（1）第一种情况下，星体运动的线速度是
，周期为2πR
．
（2）假设第二种情况下星体之间的距离为R，星体运动的线速度为
，周期为2πR
．
解：（1）第一种形式下，星体A探马星体B和星体C两个万有引力，它们的合力充当向心力，则：| Gmm |
| R2 |
| Gmm |
| (2R)2 |
| v2 |
| R |
| 4π2 |
| T2 |
解得，线速度 v=
|
|
（2）第二种情形下，星体之间的距离为R，那么圆周运动的半径 r=
| ||
| cos30° |
| R | ||
|
星体A受的合力 F合=2
| Gmm |
| R2 |
| ||
| R2 |
故有
| ||
| R2 |
| v2 |
| r |
联立解得，v=
|
| 2πr |
| v |
|
答：（1）第一种情况下，星体运动的线速度是
|
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（2）假设第二种情况下星体之间的距离为R，星体运动的线速度为
|
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点评：万有引力定律和牛顿第二定律是力学的重点，在本题中有些同学找不出什么力提供向心力，关键在于进行正确受力分析．
练习册系列答案
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宇宙中存在一些离其它恒星很远的四颗恒星组成的四星系统，通常可忽略其它星体对它们的引力作用．稳定的四星系统存在多种形式，其中一种是四颗质量相等的恒星位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动；另一种如图所示，四颗恒星始终位于同一直线上，均围绕中点O做匀速圆周运动．已知万有引力常量为G，求：