Question

18．如图所示，在竖直平面内固定一圆管，圆管的内壁粗糙外壁光滑，圆管的半径为R=0.32m且远大于圆管的内径，一直径略小于管的内径的小球放在管的最低点，小球质量为m=0.2kg，重力加速度g取10m/s²，
（1）若要使小球能在圆管里持续地做完整的圆周运动，给小球的初速度v₀至少多大？
（2）若给小球的初速度v₀=3.6m/s，结果小球恰好能够通过圆管的最高点，则小球从运动到恰好到达圆管最高点的过程中克服摩擦做的功为多少
（3）若给小球的初速度v₀=3.8m/s，则小球最终克服摩擦力做功为多少？

Answer 1

分析 （1）若要使小球能在圆管里持续地做完整的圆周运动，则紧贴外圆做圆周运动，在最高点的临界情况是重力提供向心力，根据牛顿第二定律结合机械能守恒定律求出初速度的最小值．
（2）根据牛顿第二定律求出最高点的速度大小，根据动能定理求出克服摩擦力做功的大小．

解答 解：（1）设此情形下小球到达最高点的最小速度为v_C，则有mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
根据动能定理：-mg2R=$\frac{1}{2}$mv²-$\frac{1}{2}$mv₀²
代入数据解得：v₀=4m/s．
（2）若给小球的初速度v₀=3.6m/s
小球恰好能够通过圆管的最高点，速度为0
根据动能定理：-mg2R-W_f=0-$\frac{1}{2}$mv₀²
得W_f=0.016J
（3）经足够长时间后，小球在下半圆轨道内做往复运动，
设小球在整个运动过程中减少的机械能为△E，由功能关系有△E=$\frac{1}{2}$mv₀²-mgR
代入数据解得△E=0.804J．
答：（1）若要使小球能在圆管里持续地做完整的圆周运动，给小球的初速度v₀至少4m/s；
（2）若给小球的初速度v₀=3.6m/s，结果小球恰好能够通过圆管的最高点，则小球从运动到恰好到达圆管最高点的过程中克服摩擦做的功为0.016J．
（3）若给小球的初速度v₀=3.8m/s，则小球最终克服摩擦力做功为0.804J．

点评 本题综合考查了动能定理、牛顿第二定律和机械能守恒定律，综合性较强，关键是理清运动过程，抓住临界状态，运用合适的规律进行求解