Question

13．如图所示坐标系xOy中，在第二象限内有沿x轴正方向的匀强电场，x≥0的区域内有垂直于xOy坐标平面向外的匀强磁场，已知x轴上A点坐标为（-L，0），y轴上B点的坐标为（0，$\frac{2}{3}\sqrt{3}$L）．有一个带正电的粒子从A点以初速度v_A沿y轴正方向射入匀强电场区域，经过B点进入匀强磁场区域，然后经x轴上的C点（图中未画出）运动到坐标原点O，不计重力．求：
（1）粒子在B点的速度v_B的大小．
（2）C点与O点的距离x_C及粒子在磁场中运动的轨道半径R．
（3）匀强电场的电场强度与匀强磁场的磁感应强度的比值．

Answer 1

分析 （1）粒子的电场中做类平抛运动，在沿x轴方向做匀加速直线运动，y轴方向做匀速直线运动，结合运动学公式求出粒子在M点的速度．
（2）粒子在磁场中做匀速直线运动，结合粒子在M点的速度v′与y轴正方向的夹角，根据几何关系求出C点与O点的距离．
（3）对粒子在电场中运动运用动能定理，在磁场中运动，结合半径公式，得出匀强电场的电场强度E与匀强磁场的磁感应强度B的比值．

解答 解：（1）设粒子在A到B的过程中运动时间为t，在B点时速度沿x轴正方向的速度大小为v_x，则

$\frac{2\sqrt{3}}{3}$L=v_At，L=$\frac{1}{2}$v_xt，速度：v_B=$\sqrt{{v}_{A}^{2}+{v}_{x}^{2}}$，解得v_B=2v_A；
（2）设粒子在B点的速度v_B与y轴正方向的夹角为θ，则：tanθ=$\frac{{v}_{x}}{{v}_{A}}$，解得θ=60°，
粒子在x≥0的区域内做匀速圆周运动，运动轨迹如图所示，设轨道半径为R，
几何关系得：2Rsinθ=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$L，x_c=2Rcosθ，R=$\frac{2}{3}$L，x_c=$\frac{2}{3}$L，
（或者通过判断BC 是直径，△OO₁C是等边三角形，由x_c=R得到x_c=$\frac{2}{3}$L）；
（3）设匀强电场强度为E，匀强磁场的磁感应强度为B，粒子质量为m，带电荷量为q，
由动能定理得：qEL=$\frac{1}{2}$mv_B²-$\frac{1}{2}$mv_A²，由牛顿第二定律得：qv_BB=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$，
解得：$\frac{E}{B}$=$\frac{{v}_{A}}{2}$．
答：（1）粒子在B点的速度v_B是2v_A．
（2））C点与O点的距离x_c是$\frac{2}{3}$L，粒子在磁场中运动的轨道半径R为$\frac{2}{3}$L．
（3））匀强电场的电场强度与匀强磁场的磁感应强度的比值是$\frac{{v}_{A}}{2}$．

点评 本题考查了粒子在电场中做类平抛运动，在磁场中做匀速圆周运动，关键画出运动的轨迹图，结合几何关系，运用牛顿第二定律、动能定理等规律进行求解．