Question

2．如图所示，一传送带AB段的倾角为37°，BC段弯曲成圆弧形，CD段水平，A、B之间的距离为12.8m，BC段长度可忽略；传送带始终以v=4m/s的速度逆时针方向运行．现将一质量为m=1kg的工件无初速度放到A端，若工件与传送带之间的动摩擦因数为μ=0.5，在BC段运动时，工件速率保持不变，工件到达D点时速度刚好减小到与传送带相同．取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．求：
（1）工件刚放到A端时的加速度大小和方向；
（2）工件从A到D所需的时间；
（3）工件从A到D的过程中，与传送带之间因摩擦产生的热量．

Answer 1

分析 （1）对工件进行受力分析，由牛顿第二定律求解；
（2）根据工件速度判断摩擦力方向，进而求得加速度，从而得到工件的运动，然后根据位移，由匀变速运动规律求解；
（3）分别求出不同运动阶段摩擦力和相对位移，然后由Q=fs_相对求解．

解答 解：（1）工件刚放到A端时受重力、支持力和沿斜面向下的摩擦力作用，故由牛顿第二定律可得：加速度${a}_{1}=\frac{mgsin37°+μmgcos37°}{m}=10m/{s}^{2}$，方向沿斜面向下；
（2）工件从A加速到传送带速度，运动时间${t}_{1}=\frac{v}{{a}_{1}}=0.4s$，运动位移${x}_{1}=\frac{1}{2}{a}_{1}{{t}_{1}}^{2}=0.8m$；
那么，工件达到传送带速度后摩擦力方向沿斜面向上，故由牛顿第二定律可得工件在AB剩余部分的加速度${a}_{2}=\frac{mgsin37°-μmgcos37°}{m}=2m/{s}^{2}$；
故工件以a₂匀加速运动x₂=12m到B点，故工件到达B点的速度${v}_{B}=\sqrt{{v}^{2}+2{a}_{2}{x}_{2}}=8m/s$，运动时间为${t}_{2}=\frac{{v}_{B}-v}{{a}_{2}}=2s$；
工件到达D点时速度刚好减小到与传送带相同，故工件从C到D做匀减速运动，加速度$a=\frac{μmg}{m}=μg=5m/{s}^{2}$，那么，在CD上的运动时间${t}_{3}=\frac{{v}_{B}-v}{a}=0.8s$；
那么，工件从A到D所需的时间t=t₁+t₂+t₃=3.2s；
（3）工件以a₁加速运动过程，摩擦力f₁=μmgcos37°=4N，相对位移s₁=vt₁-x₁=0.8m；
工件以a₂加速运动过程，摩擦力f₁=μmgcos37°=4N，相对位移s₂=12-vt₂=4m；
工件以a在CD上减速运动过程，摩擦力f₂=μmg=5N，相对位移${s}_{3}={v}_{B}{t}_{3}-\frac{1}{2}a{{t}_{3}}^{2}-v{t}_{3}=1.6m$；
故件从A到D的过程中，与传送带之间因摩擦产生的热量Q=f₁（s₁+s₂）+f₂s₃=27.2J；
答：（1）工件刚放到A端时的加速度大小为10m/s²，方向沿斜面向下；
（2）工件从A到D所需的时间为3.2s；
（3）工件从A到D的过程中，与传送带之间因摩擦产生的热量为27.2J．

点评 经典力学问题一般先对物体进行受力分析，求得合外力及运动过程做功情况，然后根据牛顿定律、动能定理及几何关系求解．