题目内容
14．如图所示，一小车上表面由粗糙的水平部分AB和光滑的半圆弧轨道BCD组成，小车紧靠台阶静止在光滑水平地面上，且左端与光滑圆弧形轨道MN末端等高，圆弧形轨道MN末端水平．一质量为m1=5kg的小物块P从距圆弧形轨道MN末端高为h=1.8m处由静止开始滑下，与静止在小车左端的质量为m2=1kg的小物块Q（可视为质点）发生弹性碰撞（碰后立即将小物块P取走，使之不影响后续物体的运动）．已知AB长为L=10m，小车的质量为M=3kg．取重力加速度g=10m/s2．
（1）求碰撞后瞬间物块Q的速度大小；
（2）若物块Q在半圆弧轨道BCD上经过一次往返运动（运动过程中物块始终不脱离轨道），最终停在小车水平部分AB的中点，求半圆弧轨道BCD的半径至少多大；
（3）若所有接触面均光滑，半圆弧轨道BCD的半径为R=0.3m，物块Q可以从半圆弧轨道BCD的最高点D飞出，求其再次落回小车时，落点与B点的距离S为多少．（结果可用根号表示）
分析 （1）由机械能守恒求得碰前P的速度，然后由动能定理求得碰后Q的速度；
（2）根据动量守恒求得在最高点时Q和小车的速度，然后对从最高点到AB中点的过程应用能量守恒即可求得半径范围；
（3）由动量守恒，机械能守恒求得Q在D点时Q和小车的速度，然后根据平抛运动规律求解．
解答 解：（1）物块P从静止到N点的运动过程只有重力做功，机械能守恒，故有：${m}_{1}gh=\frac{1}{2}{m}_{1}{{v}_{P}}^{2}$，所以，碰前物块P的速度为${v}_{P}=\sqrt{2gh}=6m/s$；
物块P、Q发生弹性碰撞，设碰后物块P、Q速度为v，那么由动量守恒可得：m1vP=（m1+m2）v，所以，碰撞后瞬间物块Q的速度大小$v=\frac{{m}_{1}}{{m}_{1}+{m}_{2}}{v}_{P}=5m/s$；
（2）物块Q在小车上运动的过程，小车和物块在水平方向上受到的合外力为零，故动量守恒；
要使物块不脱离轨道，当物块运动到BCD轨道最高点时，物块在竖直方向上的分速度为零，物块和小车在水平方向上的速度相等，故物块的高度H小于半径，
由动量守恒可得：相同速度$v′=\frac{{m}_{2}}{{m}_{2}+M}v=\frac{5}{4}m/s$；
物块最终停在小车水平部分AB的中点，那么，由动能定理可得，此时物块和小车的速度都为v′，
那么，对物块从BCD轨道最高点到小车水平部分AB的中点的运动过程，应用能量守恒可得：物块的重力势能转化为克服摩擦力做功产的热，即${m}_{2}gH=\frac{1}{2}μ{m}_{2}gL$；
对物块滑上小车到最后一起运动的过程，由能量守恒可知：物块和小车减少的动能都转化为热能，故有：$μ{m}_{2}g（L+\frac{1}{2}L）=\frac{1}{2}{m}_{2}{v}^{2}-\frac{1}{2}（{m}_{2}+M）v{′}^{2}$；
所以，半圆弧轨道BCD的半径$R≥H=\frac{\frac{1}{2}{m}_{2}{v}^{2}-\frac{1}{2}（{m}_{2}+M）v{′}^{2}}{3{m}_{2}g}=\frac{5}{16}m$；
（3）设物块在D点时的速度为v1，小车的速度为v2，那么由物块和小车在水平方向上动量守恒可得：m2v=Mv2+m2v1；
若所有接触面均光滑，那么由能量守恒可知：物块和小车的机械能不变，故有：$\frac{1}{2}{m}_{2}{v}^{2}=2{m}_{2}gR+\frac{1}{2}{m}_{2}{{v}_{1}}^{2}+\frac{1}{2}M{{v}_{2}}^{2}$；
所以，v2=2m/s，v1=-1m/s；
那么，物块Q从D飞出相对半圆轨道做平抛运动，平抛运动初速度v0=v2-v1=3m/s，
所以，由平抛运动规律可得：$2R=\frac{1}{2}g{t}^{2}$，$S={v}_{0}t=2{v}_{0}\sqrt{\frac{R}{g}}=0.6\sqrt{3}m$；
答：（1）碰撞后瞬间物块Q的速度大小为5m/s；
（2）若物块Q在半圆弧轨道BCD上经过一次往返运动（运动过程中物块始终不脱离轨道），最终停在小车水平部分AB的中点，那么半圆弧轨道BCD的半径至少为$\frac{5}{16}m$；
（3）若所有接触面均光滑，半圆弧轨道BCD的半径为R=0.3m，物块Q可以从半圆弧轨道BCD的最高点D飞出，那么其再次落回小车时，落点与B点的距离S为$0.6\sqrt{3}m$．
点评 经典力学问题一般先对物体进行受力分析，求得合外力及运动过程做功情况，然后根据牛顿定律、动能定理及几何关系求解．
圆柱形喷雾器高为h，内有高度为$\frac{h}{2}$的水，上部封闭有压强为p0、温度为T0的空气．将喷雾器移到室内，一段时间后打开喷雾阀门K，恰好有水流出．已知水的密度为ρ，大气压强恒为p0，喷雾口与喷雾器等高．忽略喷雾管的体积，将空气看作理想气体．
半径R=10cm的半圆柱形玻璃如图所示，O为圆心，已知玻璃的折射率n=$\sqrt{2}$，已知光在真空中的传播速度c=3×108m/s，运算结果取两位有效数字．
如图所示，一传送带AB段的倾角为37°，BC段弯曲成圆弧形，CD段水平，A、B之间的距离为12.8m，BC段长度可忽略；传送带始终以v=4m/s的速度逆时针方向运行．现将一质量为m=1kg的工件无初速度放到A端，若工件与传送带之间的动摩擦因数为μ=0.5，在BC段运动时，工件速率保持不变，工件到达D点时速度刚好减小到与传送带相同．取g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8．求：
如图所示，质量为m的小球，套在如图所示的光滑轨道上滑下．轨道由斜轨与半径为R的圆轨道平滑连接而成．
如图，一半径为R的圆盘上均匀分布着电荷量为Q的电荷，在垂直于圆盘且过圆心c的轴线上有a、b、d三个点，a和b、b和c、c和d间的距离均为R，在a点处有一电荷量为q（q＞0）的固定点电荷，已知b点处的场强为零，k为静电力常量，则以下说法正确的是（ ）| A． | d点的电场强度大小为$\frac{9Q+q}{9{R}^{2}}$，方向向右 | |
| B． | d点的电场强度大小为$\frac{9Q-q}{9{R}^{2}}$，方向向左 | |
| C． | 圆盘在d点产生的电场强度大小为k$\frac{Q}{{R}^{2}}$，方向向右 | |
| D． | 圆盘在d点产生的电场强度大小为k$\frac{q}{{R}^{2}}$，方向向右 |
如图所示，竖直边界把空间分成I、II、III区域．绝缘轨道ABC处在I区域中，AB与水平面夹角为53°，BC部分水平，B处用平滑圆弧连接，轨道末端C点恰在I、II区交界上．轨道的高和水平总长度均为h=40m，小球与轨道间的动摩擦因数均为μ=0.5．现先后将①②两个小球由A点静止释放，其中①不带电，②球带正电．若在I区加水平向右的匀强电场，II、III区加竖直向上的电场，②球在三个区域内所受的电场力大小均等于其重力．III区加入垂直纸面向外的匀强磁场，则（g=10m/s2）| A． | -10 m/s2 | B． | 10 m/s2 | C． | -50 m/s2 | D． | 50 m/s2 |
在图（a）、（b）中，标出了通电导线的电流方向、磁场方向和磁场力方向三个中的两个，请在图中标出第三个方向（导线与磁场方向垂直）．