Question

【题目】一根直径的树干平放在水平的地面上．一只懒惰的蚱蜢（视为质点）想跳过树干，求蚱蜢满足条件的最小离地速度（空气阻力忽略不计）．

Answer 1

【答案】

【解析】

当蚱蜢以最小的速度起跳时，其运动轨迹（抛物线）应以过木棍圆心的竖直线为对称轴（轴），且运动轨迹应与木棍相切，但目前还不清楚切点是否是木棍的最高点．如图所示．

蚱蜢从点以速度起跳，起跳的方向与水平方向成角，在切点处，蚱蜢的速度为，与水平方向成角，显然，与是相关联的，为了讨论方便，选择为独立变量．

将速度与作图示的分解．

蚱蜢从到有

． ①

在点，有． ②

蚱蜢从到有， ③

． ④

上述式中为木棍的半径，为蚱蜢从从到的时间．

联立上述各式解得，，

所以，．

上式中，当时取“＝”号，即当时，有最小值．

此时蚱蜢的起跳角满足：．

而，．所以，．