Question

5．如图所示，水平放置的光滑轨道上固定有两个阻值均为R的定值电阻，空间中存在有竖直向下的匀强磁场，一质量为m，电阻也为R的金属棒垂直的放在导轨上，已知金属棒的长度等于导轨间距为D，某时刻给金属棒一水平初速度V₀，金属棒在导轨上运动了L后速度变成V，则关于此过程下面说法中正确的是（　　）

• A． 金属棒上产生的热量为$\frac{1}{2}$m（v₀²-v²）
• B． 金属棒上产生的热量为$\frac{1}{4}$m（v₀²-v²）
• C． 此区域内磁感应强度为B=$\frac{1}{D}\sqrt{\frac{{mR（{V_0}-V）}}{2L}}$
• D． 此区域内磁感应强度为B=$\frac{1}{D}\sqrt{\frac{{3mR（{V_0}-V）}}{2L}}$

Answer 1

分析 金属棒动能的减少量等于整个回路产生的热量，根据焦耳定律分析金属棒与两个定值电阻产生的热量关系，求解金属棒上产生的热量．从加速度入手，运用微元法求解B．

解答 解：AB、设金属棒上产生的热量为Q，每个R上产生的热量为Q′，通过R的电流为I，根据焦耳定律得：
  Q=（2I）²Rt，Q′=I²Rt，则Q=4Q′
根据Q+Q′=$\frac{1}{2}$m（v₀²-v²）得 Q=$\frac{2}{5}$m（v₀²-v²），故AB错误．
CD、设金属棒速度为v时加速度为a，取极短时间△t，则有 a=$\frac{△v}{△t}$
得△v=a△t
根据牛顿第二定律得：a=$\frac{F}{m}$
棒所受的安培力大小 F=BIL=B$\frac{BDv}{R+0.5R}$D=$\frac{2{B}^{2}{D}^{2}v}{3R}$
联立以上三式可得△v=$\frac{2{B}^{2}{D}^{2}v}{3R}$△t
两边求和得：$\sum_{\;}^{\;}$△v=∑$\frac{2{B}^{2}{D}^{2}v}{3mR}$△t
又v△t=△x，$\sum_{\;}^{\;}$v△t=x=L
联立解得：B=$\frac{1}{D}$$\sqrt{\frac{3mR（{v}_{0}-v）}{2L}}$，故C错误，D正确．
故选：D．

点评 本题一方面要准确把握能量的分配关系，另一方面要学会：对于变速直线运动，从加速度的定义式入手，运用微元法可以研究力和速度的关系．