Question

12．如图所示，水平桌面上有一个发球器（发球器内部摩擦阻力不计），将质量为m=0.2kg的小球从A处放入发球器，发球器对小球施加一个功率恒为P=1.8W的推力，经过一小段时间，将小球从B孔射出后在桌面上滑行一段距离，从桌子的边缘C点水平飞离．水平桌面右侧有一竖直放置的光滑圆管轨道MNP（管的内径可忽略），其形状为半径R=0.5m的圆环剪去左上角120度的圆弧，MN为其竖直直径，P点到桌面的竖直距离为h=0.6m．小球从C点飞离桌面恰好由P点沿切线落入圆管轨道内．已知BC段的摩擦因数为μ=0.4，BC长为L=4m．取g=10m/s²，求：

（1）小球飞离桌面C点时的速度；
（2）小球在发球器中的时间t；
（3）小球沿轨道通过圆弧的最高点M时对轨道的压力．

Answer 1

分析 （1）小球从D到P做平抛运动，根据水平方向匀速运动，竖直方向自由落体运动即可求得速度；
（2）从A到C由动能定理求的作用时间
（3）由动能定理求的达到D点的速度，再有牛顿第二定律求的压力

解答 解：（1）物块离开D点做平抛运动，由P点沿圆轨道切线落入圆轨道
在竖直方向获得的速度为${v}_{y}=\sqrt{2gh}=\sqrt{2×10×0.6}m/s=2\sqrt{3}m/s$
在P点$\frac{{v}_{y}}{{v}_{C}}=tan60°$
v_C=$\frac{{v}_{y}}{tan60°}=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}m/s=2m/s$
（2）从A到C有动能定理的Pt-$μmgL=\frac{1}{2}{mv}_{C}^{2}$
代入数据解得t=2s
（3）从P到m由动能定理可得
$-mg（R+Rcos60°）=\frac{1}{2}{mv}_{D}^{2}-\frac{1}{2}{mv}_{C}^{2}$
在D点${F}_{N}+mg=m\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$
联立解得F_N=1.6N
答：（1）小球飞离桌面C点时的速度为2m/s；
（2）小球在发球器中的时间为2s；
（3）小球沿轨道通过圆弧的最高点M时对轨道的压力为1.6N

点评 该题涉及到多个运动过程，主要考查了动能定理、平抛运动基本公式、圆周运动向心力公式的应用，用到的知识点及公式较多，难度适中．