Question

11．如图所示，竖直固定放置的粗糙斜面AB下端与光滑的圆弧轨道BCD在B点相切，圆弧轨道的半径为R，圆心O与A、D在同一水平面上，C点为圆弧轨道最低点，∠COB=45°．现使一质量为m的小物块从D点无初速度地释放，小物块与粗糙斜面AB间的动摩擦因数μ＜tanθ，则关于小物块的运动情况，下列说法正确的是（　　）

• A． 小物块可能运动到A点
• B． 小物块最终将停在C点
• C． 小物块通过圆弧轨道最低点C时，对C点的最大压力为3mg
• D． 小物块通过圆弧轨道最低点C时，对C点的最小压力为（2-$\sqrt{2}$）mg

Answer 1

分析 由几何知识得知，斜面的倾角等于30°．物体从A点无初速度滑下后，由于克服摩擦力做功，物体在斜面上运动时机械能不断减小，到达的最大高度越来越小，最终在BE圆弧上来回运动，到达B点的速度为零．
当物体第一次经过C点时，速度最大，对C点的压力最大，当最后稳定后，物体在BE之间运动时，经过C点时速度最小，物体对C点的压力最小，根据动能定理求出最大速度和最小速度，再由牛顿运动定律求解最大压力和最小压力．

解答 解：AB、物体从A点无初速度滑下后，由于克服摩擦力做功，所以物体在斜面上运动时机械能不断减小，在斜面上升的最大高度越来越小，不可能运动到A点，最终在BE圆弧上来回运动，到达B点的速度为零．故AB错误．
CD、物块第一次运动到C时速度最大，对轨道的压力最大．物块从D第一次运动到C过程，由动能定理得：
  mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
设此时轨道对物体的支持力F₁，由牛顿第二定律得：
  F₁-mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
联立解得：F₁=3mg，由牛顿第三定律知物块对C点的最大压力为3mg．故C正确．
当最后稳定后，物体在BE之间运动时，设物体经过C点的速度为v₂，由动能定理得：
  mgR（1-cosθ）=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$
设轨道对物体的支持力F₂，由牛顿第二定律得：
  F₂-mg=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$
联立解得：F₂=3mg-2mgcosθ=（3-$\sqrt{2}$）mg
由牛顿第三定律可知，物体对C点的最小压力为（3-$\sqrt{2}$）mg．故D错误．
故选：C

点评 本题是动能定理与牛顿运动定律的综合应用，关键是分析物体的运动过程，明确C点圆周运动的向心力的来源：合力．