Question

4．如图所示，半径R=0.5m的金属圆筒a内同轴放置一半径稍小的金属圆筒b，筒a外部有平行于圆筒轴线、范围足够大的匀强磁场，磁感应强度B=0.2T．两圆筒之间加有U=150V的电压，使两圆筒间产生强电场．一比荷为$\frac{q}{m}$=10⁴C/kg的带正电粒子从紧贴b筒的c点由静止释放，穿过a筒上正对c点的小孔，垂直进入匀强磁场（不计粒子重力）．
（1）求带电粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径；
（2）若粒子从小孔射出的同时，筒a沿逆时针方向绕轴线高速旋转．为使粒子在不碰到圆筒a的情况下，还能返回到出发点c，则圆筒a旋转的角速度应满足什么条件？（忽略筒a旋转引起的磁场变化，不计粒子在两筒间运动的时间）

Answer 1

分析 （1）粒子先加速后进入磁场做圆周运动，先由动能定理求得加速获得的速度，再由牛顿第二定律求解轨道半径．
（2）粒子从A点进入磁场，画出其运动轨迹，由几何关系求出轨迹所的对圆心角，根据周期性求解角速度．

解答 解：（1）设粒子从两圆筒间电场中飞出时速度为v，根据动能定理得：$\frac{1}{2}m{v^2}=qU$
设粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径为r，$Bqv=\frac{{m{v^2}}}{r}$
联立解得：$r=0.5\sqrt{3}m或（0.866m）$
（1）粒子从A点进入磁场，可做出其运动轨迹，如图中虚线所示．利用几何关系可算得：$∠AOB=\frac{2π}{3}$

设粒子在磁场中做圆周运动的周期为T，
从A到B所用时间为t，则：$T=\frac{2πm}{Bq}$
则 $t=\frac{5T}{6}$
设圆筒角速度为ω，为使粒子每次都能从圆筒上的小孔进入电场，则应满足：$ωt=2nπ+\frac{2π}{3}（n=0，1，2，3…）$
由以上各式解得：ω=（24n+8）×10²rad/s（n=0，1，2，3…）
答：
（1）带电粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径为0.866m．
（2）圆筒a旋转的角速度应满足的条件是：ω=（24n+8）×10²rad/s（n=0，1，2，3…）．

点评 此题考查粒子在磁场中做匀速圆周运动，要掌握牛顿第二定律的应用，注意几何关系的巧用，同时理解运动的周期性．