Question

3．如图所示，阴影区域是质量为M、半径为R的球体挖去一个小圆球后的剩余部分，所挖去的小圆球的球心和大球球心间的距离是$\frac{R}{2}$，小球的半径是$\frac{R}{2}$，则球体剩余部分对球体外离球心O距离为2R、质量为m的质点P的引力为$\frac{23GMm}{100{R}^{2}}$．

Answer 1

分析 根据体积关系，求出挖去部分的质量．
用没挖之前球对质点的引力，减去被挖部分对质点的引力，就是剩余部分对质点的引力．

解答 解：根据m=$ρV=ρ\frac{4}{3}π{r}^{3}$知，挖去部分的半径是球半径的一半，则质量是球体质量的$\frac{1}{8}$，
所以挖去部分的质量$M′=\frac{1}{8}M$．
没挖之前，球体对m的万有引力${F}_{1}=G\frac{Mm}{4{R}^{2}}$，
挖去部分对m的万有引力${F}_{2}=G\frac{M′m}{{（\frac{5R}{2}）}^{2}}=\frac{GMm}{50{R}^{2}}$，
则剩余部分对质点的引力大小F=F₁-F₂=$\frac{23GMm}{100{R}^{2}}$．
故答案为：$\frac{23GMm}{100{R}^{2}}$

点评 本题主要采用割补法的思想，根据整体球M在与小球m的引力等于割掉的小球与小球m的引力和剩余空腔部分与小球m的引力的矢量和，掌握割补思想是解决本题的主要入手点，掌握万有引力定律公式是基础．