Question

12．为探测某未知天体的质量和密度等情况，科学家们做了如下的假设或实验：
（1）假设在半径为R的某天体上发射一颗该天体的卫星，若这颗卫星距该天体表面的高度为h，测得在该处做匀速圆周运动的周期为T，则该天体的质量是多少？
（2）若用弹簧测力计测得在该星体表面质量为m的物体的重力为F，则该星体的密度是多少？

Answer 1

分析 （1）由万有引力提供向心力，可确定出中心天体的质量．
（2）由质量为m的物体的重力为F可求出g，由g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$可求得M，再由$ρ=\frac{M}{V}$求得密度．

解答 解：（1）设该天体的质量为M，卫星的质量为m，根据万有引力提供向心力$G\frac{mM}{{{{（R+h）}^2}}}=m\frac{{4{π^2}}}{T^2}（R+h）$
     得：$M=\frac{{4{π^2}{{（R+h）}^3}}}{{G{T^2}}}$
（2）该星球表面的重力加速度为g，则$g=\frac{F}{m}$
                     又由：$G\frac{mM}{R^2}=mg$
                 由以上得：$M=\frac{{g{R^2}}}{G}=\frac{{F{R^2}}}{Gm}$   
                   密度：$ρ=\frac{M}{V}=\frac{M}{{\frac{4}{3}π{R^3}}}$
    则解得：$ρ=\frac{{\frac{{F{R^2}}}{Gm}}}{{\frac{4}{3}π{R^3}}}=\frac{3F}{4GπmR}$
答：（1）该天体的质量是$\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{G{T}^{2}}$
（2）该星体的密度是$\frac{3F}{4GπmR}$．

点评 明确定万有引力提供向心力是解题的关系，若知道g也可求得中心天体的质量．