Question

3．如图所示，空间分布着有理想边界的匀强电场和匀强磁场，左侧匀强电场的场强大小为E、方向水平向右，其宽度为L；中间区域匀强磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外；右侧匀强磁场的磁感应强度大小也为B、方向垂直纸面向里．一个带正电的粒子（质量m，电量q，不计重力）从电场左边缘a点由静止开始运动，穿过中间磁场区域进入右侧磁场区域后，又回到了a点，然后重复上述运动过程．（图中虚线为电场与磁场、相反方向磁场间的分界面，并不表示有什么障碍物）．
（1）中间磁场区域的宽度d为多大；
（2）带电粒子在两个磁场区域中的运动时间之比；
（3）带电粒子从a点开始运动到第一次回到a点时所用的时间t．

Answer 1

分析 （1）画出粒子在电场和磁场中的运动轨迹，求出粒子离开电场或进入磁场的速度，从而确定带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径，由几何关系就能求出中间磁场的宽度．
（2）由运动的特殊性，带电粒子三次在磁场中偏转的圆心恰好构成一个等边三角形，粒子在中间场区偏转60°，在右侧场区的偏转角度为300°，于是求出带电粒子在两场区的时间之比．
（3）带电粒子在电场中做匀加速直线运动，由运动学公式和牛顿第二定律以难求出在电场中运动的时间，从第二问已经求出带电粒子在磁场中做匀速圆周运动偏转角度，根据周期公式，能求出粒子在磁场中的时间三者之各就是题目中的总时间．

解答 解：画出粒子在电场和磁场中的运动轨迹
（1）粒子在电场中加速时有    EqL=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
在磁感应强度为B的匀强磁场中做半径为r的匀速圆周运动，
由牛顿第二定律有     Bqv=$\frac{m{v}^{2}}{r}$
联立得到：r=$\frac{1}{B}\sqrt{\frac{2mEL}{q}}$
由于两磁场区域的磁感应强度均为B，那么在两磁场区粒子运
动半径相同，如图所示，三段圆弧的圆心组成的三角形是等边三角形，
其边长为2R．所以中间磁场区域的宽度为：d=Rsin60°=$\frac{1}{2B}\sqrt{\frac{6mEL}{q}}$
（2）由几何关系可以得到带电粒子在两磁场区域内偏转的角度分别为
α=60°    β=300°
在两场区的时间之比为$\frac{t}{t′}$=$\frac{2α}{β}$=$\frac{2}{5}$
（3）在电场中时间 t₁=$\frac{2v}{a}$=$\frac{2mv}{qE}$=2$\sqrt{\frac{2mL}{Eq}}$
在中间磁场中运动时间t₂=2×$\frac{T}{6}$=$\frac{2πm}{3Bq}$
在右侧磁场中运动时间t₃=$\frac{5}{6}T$=$\frac{5πm}{3Bq}$
则粒子第一次回到O点的所用时间为
t=t₁+t₂+t₃=2$\sqrt{\frac{2mL}{Eq}}$+$\frac{7πm}{3Bq}$
答：（1）中间磁场区域的宽度d为$\frac{1}{2B}\sqrt{\frac{6mEL}{q}}$．
（2）带电粒子在两个磁场区域中的运动时间之比为$\frac{1}{5}$．
（3）带电粒子从a点开始运动到第一次回到a点时所用的时间为2$\sqrt{\frac{2mL}{Eq}}$+$\frac{7πm}{3Bq}$．

点评 本题的靓点有二：①是带电粒子在电场和磁场中运动的周期性的重复性，由于两磁场区域的磁感应强度相等，所以带电粒子在两场区的运动半径相等，从而使粒子的轨迹具有重复性．②是粒子在两磁场区域偏转三次最后又返回电场时，三次偏转的圆心恰构成一个三角形，这也是解答本题的关键．