Question

5．静电场方向平行于x轴，其电势φ随x的分布如图中折线所示，其中φ₀和d已知．一个带负电的粒子在电场中以O为中心，沿x轴方向做周期性运动．已知该粒子质量为m、电荷量为-q，其动能与电势能之和为-A（0＜A＜qφ₀）．不计重力，下列说法正确的是（　　）

• A． Od间是匀强电场，电场强度大小为$\frac{φ_0}{2d}$
• B． 粒子运动过程中与O的最大距离为（1-$\frac{A}{qφ_0}$）d
• C． 粒子的加速度大小为$\frac{qφ_0}{md}$
• D． 粒子完成一次往复运动的时间为$\frac{2d}{qφ_0}$$\sqrt{2m（qφ_0-A）}$

Answer 1

分析 由图可知Od间电势随x均匀变化，则可知电场为匀强电场，由电势差与电场强度的关系可求得电场强度；由题意可知，动能与电势能之和保持不变，设出运动区间为[-x，x]，由题意可知x处的电势，则由数学关系可求得x值，得到粒子运动过程中与O的最大距离．粒子在区间内做周期性变化，且从最远点到O点时做匀变速直线运动，由运动学规律可求得粒子完成一次往复运动的时间．

解答 解：A、由图可知，0与d两点间的电势差为φ₀，电场强度的大小为 E=$\frac{{φ}_{0}}{d}$，则知Od间是匀强电场，故A错误．
B、设粒子在[-x，x]区间内运动，速率为v，由题意得 $\frac{1}{2}$mv²-qφ=-A
由图可知 φ=φ₀（1-$\frac{|x|}{d}$）
由①②得  $\frac{1}{2}$mv²=qφ₀（1-$\frac{|x|}{d}$）-A
因动能非负，有   qφ₀（1-$\frac{|x|}{d}$）-A≥0
得|x|≤（1-$\frac{A}{qφ_0}$）d．即粒子运动过程中与O的最大距离为（1-$\frac{A}{qφ_0}$）d．故B正确．
C、考虑粒子从-x₀处开始运动的四分之一周期
根据牛顿第二定律，粒子的加速度 a=$\frac{F}{m}$=$\frac{qE}{m}$=$\frac{qφ_0}{md}$．故C正确．
D、粒子从-x₀处开始运动的四分之一周期内做匀加速直线运动，用时 t=$\sqrt{\frac{2{x}_{0}}{a}}$
粒子完成一次往复运动的时间为 T=4t
解得 T=$\frac{4d}{q{φ}_{0}}$$\sqrt{2m（q{φ}_{0}-A）}$．故D错误．
故选：BC

点评 本题要明确图象的斜率表示电场强度，能从图象中判断出电场的性质，并能灵活应用功能关系结合数学知识和周期性研究．