Question

13．如图，半径为R的铅球球心为O，在与球面相切处挖去半径为$\frac{R}{2}$的一个小球，球心在O₁，余下月牙形部分质量为M，在OO₁连线外放另一质量为m的小球，球心为O₂，OO₂距离为d，试求M、m间的万有引力．

Answer 1

分析 用没挖之前铅球对小球m的引力，减去被挖部分对小球m的引力，就是剩余部分对小球m的引力．

解答 解：没有挖去半径为$\frac{R}{2}$的小球之前，铅球的半径为挖去小球半径的2倍，故体积为8倍，质量为8倍；余下月牙形部分质量为M，故挖去小球质量为$\frac{M}{7}$；
在没有挖去前，大球对m的万有引力为：F=G$\frac{（M+\frac{M}{7}）m}{{d}^{2}}$，
该力等效于挖去的直径为R的小球对m的力和剩余月牙形部分对m的力这两个力的合力．
则设月牙形部分对m的引力为F_x，有：
F_x+G$\frac{\frac{M}{7}m}{（d-\frac{R}{2}）^{2}}$=G$\frac{（M+\frac{M}{7}）m}{{d}^{2}}$
解得：F_x=G$\frac{（M+\frac{M}{7}）m}{{d}^{2}}$-G$\frac{\frac{M}{7}m}{（d-\frac{R}{2}）^{2}}$=$\frac{8GMm}{7{d}^{2}}$-$\frac{GMm}{7{（d-\frac{R}{2}）}^{2}}$；
答：此两个球体之间的万有引力为$\frac{8GMm}{7{d}^{2}}$-$\frac{GMm}{7{（d-\frac{R}{2}）}^{2}}$．

点评 本题主要采用割补法的思想，根据整体球在与小球m的引力等于割掉的小球与小球m的引力和剩余空腔部分与小球m的引力的矢量和，掌握割补思想是解决本题的主要入手点，掌握万有引力定律公式是基础．