Question

3．如图1所示，宽度为d的竖直狭长区域内（边界为L₁、L₂），存在垂直纸面向里的匀强磁场和竖直方向上的周期性变化的电场（如图2所示），电场强度的大小为E₀，E＞0表示电场方向竖直向上．t=0时，一带正电、质量为m的微粒从左边界上的N₁点以水平速度v射入该区域，沿直线运动到Q点后，做二次完整的圆周运动（其轨迹恰好不穿出边界L₁），以后可能重复该运动形式，最后从边界L₂穿出．重力加速度为g，上述d、E₀、m、v、g为已知量．

（1）求该微粒通过Q点瞬间的加速度；
（2）求磁感应强度B的大小和电场变化的周期T；
（3）若微粒做圆周运动的轨道半径为R，而d=4.5R，使微粒仍能按上述运动过程通过相应宽度的区域，求微粒所用的时间．

Answer 1

分析 （1）微粒做直线运动，处于平衡状态，由平衡条件求出重力、电场力与洛伦兹力的关系，粒子做匀速圆周运动，重力与电场力合力为零，应用牛顿第二定律可以求出加速度．
（2）由平衡条件可以求出B，求出微粒在电场与磁场中的运动时间，然后求出周期．
（3）作出微粒的运动轨迹，然后求出其运动时间．

解答 解（1）微粒从N到Q，因做直线运动，则：mg+qE₀=qvB，
微粒做圆周运动，则：mg=qE₀，
在Q点，由牛顿第二定律得：Bqv=ma，
解得：a=2g；
（2）由mg+qE₀=qvB、mg=qE₀，
解得：B=$\frac{2{E}_{0}}{v}$，
设微粒从N₁运动到Q的时间为t₁，做圆周运动的周期为t₂，因微粒恰好没穿出L₁边界，则：R=vt₁，
由牛顿第二定律得：qvB=m$\frac{v2}{R}$，2πR=vt₂，
联立得电场变化的周期：T=t₁+2t₂=$\frac{v}{2g}$+2$\frac{πv}{g}$=$\frac{4π+1}{2g}v$；
（3）若d=4.5R据题意可画出微粒如图的运动轨迹．从图知：
运动时间：t=6T+t₁+$\frac{1}{12}$t₂=6（$\frac{4π+1}{2g}v$）+$\frac{v}{2g}$+$\frac{1}{12}$$\frac{πv}{g}$=$\frac{73π+24}{12g}v$；
答：（1）该微粒通过Q点瞬间的加速度为2g；
（2）磁感应强度B的大小为$\frac{2{E}_{0}}{v}$，电场变化的周期T为$\frac{4π+1}{2g}v$；
（3）微粒所用的时间为$\frac{73π+24}{12g}v$．

点评 本题考查了求加速度、磁感应强度、周期与运动时间，分析清楚微粒运动过程是正确解题的前提与观念，作出粒子运动轨迹，应用平衡条件、牛顿第二定律、粒子周期公式即可正确解题．