Question

14．如图所示，竖直放置的光滑圆轨道半径为R，A、B为圆轨道内表面的最低点和最高点，在A、B两位置装有压力传感器，可以测量小球经过该位置时对轨道的压力F．一质量为m的小球置于轨道最低点A处，现给小球一水平向右的初速度v，使其沿圆轨道运动；改变小球的初速度v的大小，测量小球在A、B位置对轨道压力F_A、F_B（小球第1次经过A、B时）的大小，根据测量数据描绘出相应的F-v²图象为相互平行的直线，如图所示．重力加速度为g，求：

（1）图象中v₀；
（2）图象中F₀；
（3）若圆轨道不光滑，假设小球运动到环的各处时摩擦力大小与速度无关，图中的F₀=7mg，改变v的大小，当小球某次经过A时F=9mg，求小球到达B处的速度为多大．

Answer 1

分析 （1）通过v₀，F₀，对小球在B点应用牛顿第二定律，对A到B的过程应用动能定理即可求解；
（2）对小球在A点应用牛顿第二定律即可求解；
（3）通过牛顿第二定律求得在A、B的速度，然后应用动能定理求得摩擦力做的功；再应用牛顿第二定律求得在A处的速度，然后利用动能定理即可求得在B处的速度．

解答 解：（1）当v=v₀时，小球刚好可以到达B点，且在B点的合外力为重力，那么，对小球在B点应用牛顿第二定律，有：$mg=\frac{m{{v}_{B}}^{2}}{R}$；
对小球从A到B应用动能定理得：$-2mgR=\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}=\frac{1}{2}mgR-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$，所以，${v}_{0}=\sqrt{5gR}$；
（2）对小球在A点应用牛顿第二定律，有：${F}_{0}=mg+\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{R}=6mg$；
（3）小球运动到环的各处时摩擦力大小与速度无关，那么摩擦力只和位置有关，所以，经过相同位置，摩擦力做功相同；
对小球在A点应用牛顿第二定律，当F₀=7mg时有$6mg=\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{R}$；
且小球刚好到达B点，对小球在B点应用牛顿第二定律，有：$mg=\frac{m{{v}_{B}}^{2}}{R}$；
对小球从A到B的运动过程应用动能定理可得：$-2mgR+{W}_{f}=\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}=-\frac{5}{2}mgR$，所以，${W}_{f}=-\frac{1}{2}mgR$；
当F=9mg时，在A点有：$9mg-mg=8mg=\frac{m{{v}_{A}}^{2}}{R}$；
那么，由动能定理可得：$-2mgR+{W}_{f}=\frac{1}{2}m{v}_{B}{′}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{A}}^{2}$，所以，$\frac{1}{2}m{v}_{B}{′}^{2}=\frac{3}{2}mgR$，所以，${v}_{B}′=\sqrt{3gR}$；
答：（1）图象中v₀为$\sqrt{5gR}$；
（2）图象中F₀为6mg；
（3）若圆轨道不光滑，假设小球运动到环的各处时摩擦力大小与速度无关，图中的F₀=7mg，改变v的大小，当小球某次经过A时F=9mg，小球到达B处的速度为$\sqrt{3gR}$．

点评 经典力学问题一般先对物体进行受力分析，求得合外力及运动过程做功情况，然后根据牛顿定律、动能定理及几何关系求解．