Question

20．如图所示，天花板上有固定转轴O，长为L的轻杆一端可绕转轴O在竖直平面内自由转动，另一端固定一质量为M的小球．一根不可伸长的足够长轻绳绕过定滑轮A，一端与小球相连，另一端挂着质量为m₁的钩码，定滑轮A的位置可以沿OA连线方向调整．小球、钩码均可看作质点，不计一切摩擦，g取10m/s²．
（1）若将OA间距调整为$\sqrt{3}$L，则当轻杆与水平方向夹角为30°时小球恰能保持静止状态，求小球的质量M与钩码的质量m₁之比；
（2）若在轻绳下端改挂质量为m₂的钩码，且M：m₂=4：1，并将OA间距调整为$\frac{4}{3}$L，然后将轻杆从水平位置由静止开始释放，求小球与钩码速度大小相等时轻杆与水平方向的夹角θ；
（3）在（2）的情况下，测得杆长L=2.175m，仍将轻杆从水平位置由静止开始释放，当轻杆转至竖直位置时，小球突然与杆和绳脱离连接而向左水平飞出，求当钩码上升到最高点时，小球与O点的水平距离．

Answer 1

分析 （1）先据几何关系找出角度关系，据平衡态列方程求解；（2）利用圆周运动的知识，找出二者速度相等的条件即可求解；（3）据机械能守恒和运动规律求出速度，再求出时间，据此求出距离．

解答 解：（1）依题意，小球处于静止状态时，∠AOM=30°，由几何关系知，此时∠OAM=30°．
分析小球受力，设轻杆对其弹力大小为F，方向沿杆向上，轻绳对其弹力大小为T，则
Fcos30°=Tcos30°
Fsin30°+Tsin30°=Mg
解得：M=m₁，即M：m₁=1：1．
（2）小球绕O点作圆周运动，其速度方向始终沿垂直于轻杆方向，只有当轻绳也与轻杆垂直时，小球与钩码的速度相等，此时：$cosθ=\frac{L}{\frac{4}{3}L}=\frac{3}{4}$，
θ=arccos$\frac{3}{4}$≈41.4°
（3）小球与钩码构成的系统机械能守恒，有：
MgL-mg[$\sqrt{{L}^{2}+（\frac{4L}{3}）^{2}}\\;\\;-（\frac{4}{3}L-L）$-（$\frac{4L}{3}-L$）]=$\frac{1}{2}M{v}_{1}^{2}+\frac{1}{2}{m}_{2}{v}_{2}^{2}$
又M：m₂=4：1
设此时轻绳与水平方向夹角为α，则$tanα=\frac{L}{\frac{4L}{3}}=\frac{3}{4}$，所以α=37°．
v₁cosα=v₂
解得：v₁=5m/s/，v₂=4m/s．
钩码做竖直上抛运动，上升到最高点的时间为：t=$\frac{{v}_{2}}{g}=\frac{4}{10}s$=0.4s
小球离开杆后做平抛运动，此时它与O点的水平距离为：
s=v₁t=5×0.4m=2m．
答：1）若将OA间距调整为$\sqrt{3}$L，则当轻杆与水平方向夹角为30°时小球恰能保持静止状态，求小球的质量M与钩码的质量m₁之比1：1．
（2）若在轻绳下端改挂质量为m₂的钩码，且M：m₂=4：1，并将OA间距调整为$\frac{4}{3}$L，然后将轻杆从水平位置由静止开始释放，求小球与钩码速度大小相等时轻杆与水平方向的夹角为41.4°；
（3）在（2）的情况下，测得杆长L=2.175m，仍将轻杆从水平位置由静止开始释放，当轻杆转至竖直位置时，小球突然与杆和绳脱离连接而向左水平飞出，求当钩码上升到最高点时，小球与O点的水平距离2m．

点评 本题难度较大，分清楚物体的受力情况和运动情况 是解题的 关键；灵活应用和运动与分运动的关系、机械能守恒和运动规律求出速度，再求出时间，据此求出距离是解题的核心．