Question

10．在倾角θ=37°的倾角上，用挡板固定长L=1.6m、质量M=2kg的绝缘木板B，质量m=1kg带电量q=+2.0×10^-5C的小滑块A放在木板B的中点，木板和小滑块间的动摩擦因数μ₁=0.2，木板和斜面间的动摩擦因数μ₂=0.4，所在空间有一个竖直向下的匀强磁场，电场强度E=5.0×10⁵N/C，g取10m/s²，斜面足够长．
（1）由静止开始释放小滑块，同时撤去挡板，求小滑块和木板从开始运动到分离的时间．
（2）求小滑块和木板从开始运动到分离，摩擦力对木板做的功及系统产生的内能．

Answer 1

分析 （1）由静止开始释放小滑块，同时撤去挡板，分析木板所受的最大静摩擦力与重力沿斜面向下分力的大小，判断木板的运动情况．根据牛顿第二定律和运动学公式结合求解．
（2）根据功的公式求解摩擦力对木板做的功．根据相对位移，求解内能．

解答 解：（1）由静止开始释放小滑块后，斜面对M的最大静摩擦力为：
f_m=μ₂[（M+m）g+qE]cosθ=0.4×[（2+1）×10+2.0×10^-5×5.0×10⁵]×cos37°=13.2N
小滑块对木板的滑动摩擦力为：
f=μ₁[mg+qE]cosθ=0.2×[10+10]×cos37°N=3.2N
木板重力沿斜面向下的分力为：Mgsinθ=20×sin37°=12N
由于Mgsinθ+f＞f_m，所以木板将沿斜面向下做匀速运动，设滑块和木板的加速度分别为a₁和a₂．
根据牛顿第二定律得：
 对于滑块有：[mg+qE]sinθ-f=ma₁；
 对木板有：Mgsinθ+f-f_m=Ma₂；
代入数据解得：a₁=8.8m/s²，a₂=1m/s²．
根据题意有：$\frac{1}{2}{a}_{1}{t}^{2}$-$\frac{1}{2}{a}_{2}{t}_{\;}^{2}$=$\frac{1}{2}$L
解得：t=$\frac{4\sqrt{87}}{87}$s
（2）木板的位移为：x₁=$\frac{1}{2}{a}_{2}{t}_{\;}^{2}$=$\frac{1}{2}×$0.2×$\frac{16}{87}$m=$\frac{8}{435}$m
则摩擦力对木板做的功为：W=fx₁-f_mx₁=（3.2-13.2）×$\frac{8}{435}$≈-0.18J
系统产生的内能为：Q=f•$\frac{L}{2}$=3.2×0.8J=2.88J
答：
（1）由静止开始释放小滑块，同时撤去挡板，小滑块和木板从开始运动到分离的时间是$\frac{4\sqrt{87}}{87}$s．
（2）小滑块和木板从开始运动到分离，摩擦力对木板做的功是0.18J，系统产生的内能是2.88J．

点评 本题采用隔离法研究两个物体有相对运动的问题，抓住加速度关系和位移关系．当两个物体刚要滑动时静摩擦力达到最大值是常用的临界条件．