Question

12．如图所示，半径为R，内径很小的光滑半圆管竖直放置，且固定在水平地面上．两个质量均为m的小球（直径略小于R，可看做质点）a、b沿同一方向以不同的速率先后进入管内，a通过最高点A时，对管壁上部的压力为3mg，b通过最高点A时，对管壁下部的压力为0.75mg，g为重力加速度，不计空气阻力．求a、b两球落地点间的距离△x．

Answer 1

分析 对两个球分别受力分析，根据合力提供向心力，求出速度，此后球做平抛运动，正交分解后，根据运动学公式列式求解即可．

解答 解：两个小球在最高点时，受重力和管壁的作用力，这两个力的合力作为向心力，离开轨道后两球均做平抛运动，A、B两球落地点间的距离等于它们平抛运动的水平位移之差．
对a球：3mg+mg=m$\frac{{v}_{a}^{2}}{R}$，
解得：v_a=2$\sqrt{gR}$，
对B球：mg-0.75mg=m$\frac{{v}_{b}^{2}}{R}$，
解得：v_b=$\frac{1}{2}$$\sqrt{gR}$，
由平抛运动规律可得时间为：t=$\sqrt{\frac{4R}{g}}$，
落地时它们的水平位移为：s_a=v_at=4R
s_b=v_bt=R，
a、b两球落地点间的距离△x=s_a-s_b=3R．
答：a、b两球落地点间的距离为3R．

点评 本题关键是对小球在最高点处时受力分析，然后根据向心力公式和牛顿第二定律求出平抛的初速度，最后根据平抛运动的分位移公式列式求解．