Question

4．如图所示，竖直平面内的直角坐标系xoy把空间分成四个区域，一绝缘带孔弹性挡板放置在x轴，其一端与坐标系O点重合，挡板上的小孔M距O点距离L₁=9m，在y轴上有N点，N点距O点的距离L₂=3m．空间中Ⅰ、Ⅲ、Ⅳ象限存在竖直向上的匀强电场．小孔M正上方高h处有一直径略小于小孔宽度的带正电小球（视为质点），其质量m=1.0×10^-3kg，电荷量q=1.0×10^-3C．某时刻由静止释放带电小球，小球经过小孔M后进入匀强电场区域，恰好做匀速直线运动．不计空气阻力，取g=10m/s²．
（1）求电场强度E的大小；
（2）若在空间中Ⅰ、Ⅲ、Ⅳ象限再加一垂直纸面的匀强磁场，磁感应强度B=1T，其他条件不变，由静止释放小球，小球通过小孔M后未与挡板碰撞且恰好通过N点，求h值；
（3）保持（2）问中的电场、磁场不变，适当改变h值，小球仍由静止释放，通过小孔后与挡板发生碰撞也恰好通过N点（小球与挡板相碰以原速率反弹，碰撞时间不计，碰撞后电量不变），求h的可能值．

Answer 1

分析 （1）小球匀速运动，受力平衡求E
（2）小球通过小孔后未与挡板碰撞，做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，画出运动轨迹，根据牛顿第二定律及运动学公式，结合几何关系求出h
（3）小球 小孔后与挡板发生碰撞，在复合场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，求出各种可能的轨迹，求出半径、速度，进而求出高度．

解答 解：（1）小球进入电场后做匀速直线运动，受到重力和电场力，由平衡知识可得：
mg=qE…（1）
代入数值得：
E=10N/C…（2）
（2）小球进入复合场做匀速圆周运动，不与挡板相碰，恰好通过N点，小球运动轨迹如图．设轨道半径为r，由几何知识可得

根据几何关系${L}_{1}^{\;}-r=\sqrt{{r}_{\;}^{2}-{L}_{2}^{2}}$…（3）
又洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律得：
$qvB=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}$      得$r=\frac{mv}{qB}$（4）
进入复合场前做自由落体运动：${v}_{\;}^{2}=2gh$…（5）
联立并代入数据得
h=1.25m…（6）
（3）小球进入复合场与挡板相碰．半径R越小，碰撞次数越多．设经n次碰撞后小球达到N点．
小球与挡板碰撞，轨迹的前半部分是半圆：$R≥{L}_{2}^{\;}$…（7）
由几何关系：$n•2R≤{L}_{1}^{\;}$…（8）

联立得：n≤1.5，取n=1即与挡板碰撞一次…（9）
小球轨迹如甲、乙图．
对甲图、乙图，由几何知识得
$3{R}_{1}^{\;}={L}_{1}^{\;}$…（10）
$（3{R}_{2}^{\;}-{L}_{1}^{\;}）_{\;}^{2}+{L}_{2}^{2}={R}_{2}^{2}$…（11）
又洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律有
$qvB=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$     得$R=\frac{mv}{qB}$…（12）
进入复合场前做自由落体运动：${v}_{\;}^{2}=2gh$…（13）
解得
h₁=0.45m，h₂=0.70m…（14）
答：（1）求电场强度E的大小10N/C；
（2）若在空间中Ⅰ、Ⅲ、Ⅳ象限再加一垂直纸面的匀强磁场，磁感应强度B=1T，其他条件不变，由静止释放小球，小球通过小孔M后未与挡板碰撞且恰好通过N点，h值为1.25m；
（3）保持（2）问中的电场、磁场不变，适当改变h值，小球仍由静止释放，通过小孔后与挡板发生碰撞也恰好通过N点（小球与挡板相碰以原速率反弹，碰撞时间不计，碰撞后电量不变），h的可能值为0.45m、0.70m．

点评 本题是带电粒子在复合场中运动的问题，前两问较基础，第三问分析小球在复合场中的运动的可能情况要分析到位，对学生的能力要求较高．注意小球受到重力、电场力、洛伦兹力作用做匀速圆周运动，必定是洛伦兹力提供向心力，重力和电场力平衡．