Question

5．如图所示，AB为倾角为37°的粗糙斜面，BC为粗糙的水平面，CPD为竖直放置的光滑的半圆轨道，P点为与圆心等高处，已知AB斜面的竖直高度为h=6m，BC的长度为L=8m，一物块在A点由静止释放，物块与AB和BC间的动摩擦因数均为μ=0.1，不考虑经过B点时速度大小的变化，重力加速度大小为g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．
（1）若半圆轨道CPD的半径R=1.6m，求物块离开圆轨道后落回到BC上的位置与B点间的距离d；
（2）若物块滑上圆轨道后能沿圆轨道滑下，求R的取值范围．

Answer 1

分析 （1）从A到D对物块运用动能定理，即可求出物块运动到D点的速度，再根据平抛运用规律结合几何关系，即可求出物块离开圆轨道后落回到BC上的位置与B点间的距离d；
（2）物块滑上圆轨道后能沿圆轨道滑下的临界条件为恰好运动$\frac{1}{4}$圆周后速度恰好为0，求出此时半径的临界值即可确定半径R的取值范围．

解答 解：（1）物块恰好通过D点的条件为重力提供向心力，即：mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
可得临界速度：v=$\sqrt{gR}$=$\sqrt{10×1.6}$m/s=4m/s
从A到D对物块运用动能定理可得：mg（h-2R）-μmg•$\frac{h}{sinθ}$•cos37°-μmgL=$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$-0①
解得：v_D=2$\sqrt{6}$＞4m/s，故物块可以通过D点，从D点做平抛运动离开圆轨道，
根据平抛运动规律有：x=v_Dt②
2R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$③
d=L-x④
联立①②③④式可得：d=8-$\frac{8\sqrt{6}}{5}$m≈4.1m
（2）设当半径为R′时，物块运动$\frac{1}{4}$圆周后速度恰好为0，
根据动能定理可得：mg（h-R′）-μmg•$\frac{h}{sinθ}$•cos37°-μmgL=0
解得：R′=2.8m
则物块滑上圆轨道后能沿圆轨道滑下R的取值范围：R≥R′=2.8m
答：（1）若半圆轨道CPD的半径R=1.6m，物块离开圆轨道后落回到BC上的位置与B点间的距离d约为4.1m；
（2）若物块滑上圆轨道后能沿圆轨道滑下，R的取值范围为R≥2.8m．

点评 本题考查动能定理的综合运用，解题关键是要分好运动过程，结合物体运动形式选择合适的规律解题，本题对整个过程运用动能定理，可以化繁为简提高解题效率；第（2）问解决的关键是要找到物块滑上圆轨道后能沿圆轨道滑下的临界条件，即：物块运动$\frac{1}{4}$圆周后速度恰好为0．