题目内容

17．自由式滑雪空中技巧是一项有极大观赏性的运动，其场地由①出发区、②助滑坡、③过渡区（由两段不同半径的圆弧平滑相连，其中CDE弧的半径为3m，DE弧的圆心角60°）、④跳台（高度可选）组成．比赛时运动员由A点进入助滑区做匀加速直线运动，经过渡区后沿跳台的斜坡匀减速滑至跳台F处飞出，运动员的空中动作一般须在54km/h到68km/h的速度下才能成功完成，③④不计摩擦和空气阻力，取g=10m/s2，求：
（1）某运动员选择由A点无初速滑下，测得他在②、④两段运动时间之比为t1：t2=3：1，且已知AB=2EF，则运动员在这两坡段运动平均速度之比及加速度之比各为多少？
（2）另一质量60kg的运动员，选择高h=4m的跳台，他要成功完成动作，在过渡区最低点D处至少要承受多大的支持力？
（3）试求为了能成功完成空中动作，助滑过程中他至少需要消耗多少体能？

分析 （1）通过平均速度的定义，并匀变速运动加速度和速度的关系求得速度之比、加速度之比；
（2）通过机械能守恒求得D点的最小速度，然后由牛顿第二定律求得最小支持力；
（3）根据能量守恒得到消耗的体能．

解答 解：（1）运动员在②④上做匀变速运动，故两段运动的平均速度之比$\frac{\overline{{v}_{AB}}}{\overline{{v}_{EF}}}=\frac{\frac{AB}{{t}_{1}}}{\frac{EF}{{t}_{2}}}=\frac{2}{3}$；
运动员在BCDE上运动过程只有重力做功，故机械能守恒，那么，运动员在B点和E点的速度相同，设都为v1；
那么，在②上的加速度为：${a}_{1}=\frac{{v}_{1}-\overline{{v}_{AB}}}{\frac{1}{2}{t}_{1}}=\frac{{v}_{1}}{{t}_{1}}$
在④上的加速度为：${a}_{2}=\frac{\overline{{v}_{EF}}-{v}_{1}}{\frac{1}{2}{t}_{2}}=\frac{\frac{3}{2}\overline{{v}_{AB}}-{v}_{1}}{\frac{1}{2}×\frac{1}{3}{t}_{1}}=\frac{\frac{3}{4}{v}_{1}-{v}_{1}}{\frac{1}{6}{t}_{1}}$=$-\frac{3}{2}\frac{{v}_{1}}{{t}_{1}}$；
故运动员在这两坡段运动加速度大小之比$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}=\frac{2}{3}$；
（2）运动员的空中动作一般须在54km/h到68km/h的速度下才能成功完成，即为：$15m/s≤{v}_{F}≤\frac{170}{9}m/s$；
运动员从D到F运动过程只有重力做功，机械能守恒，故有：$\frac{1}{2}m{{v}_{D}}^{2}=mg（h+R-Rcos60°）+\frac{1}{2}m{{v}_{F}}^{2}$；
对运动员在D点应用牛顿第二定律可得：${F}_{N}=mg+\frac{m{{v}_{D}}^{2}}{R}$；
故vF越小，vD越小，FN越小；所以，vFmin=15m/s，${v}_{Dmin}=\sqrt{335}m/s$，FNmin=7300N；
（3）A到F过程只有重力做功，机械能守恒，故由能量守恒可知：助滑过程中他不需要消耗体能．
答：（1）某运动员选择由A点无初速滑下，测得他在②、④两段运动时间之比为t1：t2=3：1，且已知AB=2EF，则运动员在这两坡段运动平均速度之比为$\frac{2}{3}$，加速度之比为$\frac{2}{3}$；
（2）另一质量60kg的运动员，选择高h=4m的跳台，他要成功完成动作，在过渡区最低点D处至少要承受7300N的支持力；
（3）为了能成功完成空中动作，助滑过程中他不需要消耗体能．

点评 经典力学问题一般先对物体进行受力分析，求得合外力及运动过程做功情况，然后根据牛顿定律、动能定理及几何关系求解．

练习册系列答案
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