Question

5．如图1所示，AB段为一与水平面成37°角的光滑斜面，BCDE段为一传送带，BC段水平、角CDE也为37°，传送带与物体间动摩擦因数为0.5，转动轮大小不计．一弹簧一端固定在斜面的底端，另一端拴住质量为m₁=4kg的小物块P，小物体Q与P接触，已知Q的质量为m₂=10kg，弹簧的质量不计，劲度系数k=100N/m，系统恰好在斜面某位置处于静止，现给Q施加一个方向沿斜面向上的力F，使它们一起从静止开始沿斜面向上做匀加速运动，已知力F的大小随位移x按如图2所示规律变化 （sin 37°=0.6，cos37°=0.8，g=10m/s²） 求：
（1）刚开始时加力F时弹簧的压缩量
（2）求PQ一起运动的加速度的大小；如果PQ运动0.4m恰好到B点，求物体Q到B点时的速度大小
（3）如果运动0.4m到B点时，PQ刚好分离，同时撤去拉力F，传送带逆时针匀速转动，速度大小为10m/s，物体经过B点时利用特殊装置使使物体速度方向立即变为水平，大小不变，BC段距离为X=0.4m，当物体运动到C点时，传送带开始顺时针匀速转动，速度大小不变，CD段长度为S=22.25m，求物块从C运动到D所用时间．

Answer 1

分析 （1）由PQ受力平衡，根据胡克定律求解；
（2）由PQ刚开始运动时的受力情况，应用牛顿第二定律求得加速度；然后根据匀变速运动规律求得速度；
（3）根据动能定理求得物体在C点的速度，然后分物体速度大于和小于传送带速度分别进行受力分析求得加速度，然后由匀变速运动规律求得运动时间．

解答 解：（1）静止状态下，PQ受力平衡，故设弹簧压缩量为x₀，则有：kx₀=（m₁+m₂）gsin37°=84N
解得：x₀=0.84m；
（2）PQ一起运动，位移为x时，弹簧弹力为k（x₀-x），故当P、Q开始运动时拉力最小，由牛顿第二定律可得：F_min=（m₁+m₂）a
解得：$a=\frac{{F}_{min}}{{m}_{1}+{m}_{2}}=5m/{s}^{2}$；
那么，由匀变速运动规律可得：物体Q到B点时的速度大小为：${v_B}=\sqrt{2ax}=2m/s$；
（3）在水平传送带BC上，物体（记质量为m）受到向左的摩擦力f=μmg，那么物体在BC上运动只有摩擦力做功，故由动能定理可得：$-fX=\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$
代入数据解得：v_C=0；
物体在CD上运动，当物体速度小于传送带速度时，合外力为：F₁=mgsin37°+μmgcos37°=mg
那么物体运动加速度为：${a}_{1}=10m/{s}^{2}$；
故物体要达到传送带速度需要运动位移为：$x=\frac{{v}^{2}}{2{a}_{1}}=5m$
运动时间为：${t}_{1}=\frac{v}{{a}_{1}}=1s$；
之后物体合外力为：F₂=mgsin37°-μmgcos37°=0.2mg
故物体做加速度为${a}_{2}=2m/{s}^{2}$的匀加速直线运动，那么有：$S-x=v{t}_{2}+\frac{1}{2}{a}_{2}{{t}_{2}}^{2}$
代入数据解得：t₂=1.5s；
故物块从C运动到D所用时间为：t=t₁+t₂=2.5s；
答：（1）刚开始时加力F时弹簧的压缩量为0.84m；
（2）PQ一起运动的加速度的大小为5m/s²；如果PQ运动0.4m恰好到B点，那么物体Q到B点时的速度大小为2m/s；
（3）如果运动0.4m到B点时，PQ刚好分离，同时撤去拉力F，传送带逆时针匀速转动，速度大小为10m/s，物体经过B点时利用特殊装置使使物体速度方向立即变为水平，大小不变，BC段距离为X=0.4m，当物体运动到C点时，传送带开始顺时针匀速转动，速度大小不变，CD段长度为S=22.25m，则物块从C运动到D所用时间为2.5s．

点评 经典力学问题一般先对物体进行受力分析，求得合外力及运动过程做功情况，然后根据牛顿定律、动能定理及几何关系求解．