Question

11．已知月球半径为R₀，月球表面处重力加速度为g₀．地球和月球的半径之比为$\frac{R}{{R}_{0}}$=4，表面重力加速度之比为$\frac{g}{{g}_{0}}$=6，则地球和月球的密度之比$\frac{ρ}{{ρ}_{0}}$为多少？

Answer 1

分析 在星球表面、重力等于万有引力，根据万有引力定律列式求解出质量，由球体体积的表达式和密度定义求解密度表达式进行分析即可．

解答 解：设星球的密度为ρ，由G$\frac{Mm′}{{R}^{2}}$=mg
得GM=gR²，ρ=$\frac{M}{V}$=$\frac{M}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$  
联立解得ρ=$\frac{3g}{4GπR}$ 
设地球、月球的密度分别为ρ、ρ₀，则$\frac{ρ}{{ρ}_{0}}=\frac{g{R}_{0}}{{g}_{0}R}$ 
将$\frac{R}{{R}_{0}}$=4，$\frac{g}{{g}_{0}}$=6代入上式，解得$\frac{ρ}{{ρ}_{0}}$=$\frac{3}{2}$ 
答：地球和月球的密度之比$\frac{ρ}{{ρ}_{0}}$为$\frac{3}{2}$．

点评 本题关键是明确在星球的表面重力等于万有引力，根据万有引力定律的表达式列式分析即可，基础题目．