Question

6．如图所示的直角坐标系xOy平面，在x＞0的区域内有竖直向上的匀强电场和垂直纸面向里的均强磁场，x＜0的区域内有x＞0的区域内大小相同、方向竖直向下的匀强电场．现有一质量为m=10^-2kg，带电量为q=+5×10^-2C的带电小球，从x轴上P（-0.8m，0）点以初速度v₀=4m/s沿x轴正方向进入电场，之后经过y轴上的Q点，在x＞0的区域做匀速圆周运动，又通过y轴上的M（未标出）点返回x＜0的区域内，且OQ=OM．（g=10m/s²）试求：
（1）电场强度的大小E和磁感应强度的大小B；
（2）小球在磁场中运动的时间；
（3）若撤去x＜0的区域内的电场，其它条件不变，试求小球轨迹两次与y轴交点的间距．

Answer 1

分析 （1）带电小球在x＜0的区域做类平抛运动，在x＞0的区域做匀速圆周运动，磁场中电场力与重力平衡可求电场大小；平抛运动规律与洛仑磁力充当圆周运动的向心力结合可求磁感强度；
（2）圆周运动周期与圆心角大小结合可求运动时间；
（3）带电小球先做平抛运动后做圆周运动，平抛运动规律与洛仑磁力充当圆周运动的向心力结合求出半径，根据几何关系再求出两点间距离．

解答 解：（1）带电小球在x＜0的区域做类平抛运动，在x＞0的区域做匀速圆周运动，运动轨迹如图
带电小球在x＞0的区域做匀速圆周运动，所以Eq=mg
E=$\frac{mg}{q}$=$\frac{1{0}^{-2}×10}{5×1{0}^{-2}}$=2N/C
带电小球在x＜0的区域做类平抛运动
F_合=mg+Eq=2mg
a=$\frac{{F}_{合}}{m}$=2g=20m/s²
t=$\frac{x}{{v}_{0}}$=$\frac{0.8}{4}$=0.2s
OQ点之间的距离
y=$\frac{1}{2}$at²=0.4m
v_y=at=4m/s
Q点的速度：${v}_{Q}=\sqrt{{v}_{0}^{2}{+v}_{y}^{2}}$=$4\sqrt{2}$m/s，与水平方向的夹角$tanθ=\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}=1$，θ=45°
圆周运动通过y轴上的M点且OQ=OM，所以圆心在x轴上，过Q点的半径v_Q垂直：R=$\frac{2}{5}\sqrt{2}$m
根据洛仑磁力充当圆周运动的向心力：qv_QB=$m\frac{{v}_{Q}^{2}}{R}$
代入数据解得：B=2T
（2）圆周运动周期：T=$\frac{2πR}{{v}_{Q}}$=$\frac{π}{5}$s
根据圆周运动所对的圆心角为270°，所以t=$\frac{3}{4}$T=$\frac{3π}{20}$s
（3）若撤去x＜0的区域内的电场时，带电小球在x＜0的区域做平抛运动，在x＞0的区域做匀速圆周运动
v_y=gt=2m/s
$v=\sqrt{{v}_{0}^{2}{+v}_{y}^{2}}$=$2\sqrt{5}$m/s，与水平方向的夹角cosθ=$\frac{{v}_{0}}{v}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
R=$\frac{mv}{qB}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$
根据几何关系两点间的距离：d=2Rcosθ=0.8m
答：（1）电场强度E的大小为2N/C，磁感应强度B的大小2T；
（2）小球在磁场中运动的时间为$\frac{3π}{20}$s；
（3）若撤去x＜0的区域内的电场，其它条件不变，试求小球轨迹两次与y轴交点的间距为0.8m．

点评 磁场中电场力与重力平衡，洛仑磁力充当圆周运动的向心力，运动时间与圆心角的关系，运动轨迹所对的几何关系是解决问题的关键．