Question

2．如图（a），半径为r₁的圆形区域存在垂直纸面向里的匀强磁场B，在垂直于磁场的平面内，阻值为R₂、长为r₂的金属杆OQ绕端点O转动，杆的末端Q通过电刷与圆形金属环保持良好接触． O点、圆环与一个电路连接，P是加上正向电压才能导通的理想元件．a、b端点通过导线与水平放置的两平行金属板相连．用电压传感器（内阻足够大）测得a、b两端的电压U与金属杆角速度ω的关系如图（b）所示，ω＞0代表圆盘逆时针转动．
已知：R₁=3R₂，r₁=0.40m，r₂=0.50m，两金属板间距离d=1cm，导线的电阻忽略不计．

（1）根据图（b）写出OA、OB段对应U与ω的关系式
（2）求圆形区域内匀强磁场磁感应强度B大小；
（3）若一质量m=1.2×10^-6kg、带电量q=-1.0×10^-8C的粒子，以初速v₀=4m/s沿两板正中间水平射入金属板间，并能沿直线从金属板右边穿出，求金属杆的角速度ω．（设粒子穿越电场过程中金属杆匀速转动，重力加速度为g取10m/s²）．

Answer 1

分析 （1）OA段、OB段都是正比例图象，求解出斜率即可；
（2）当角速度为100rad/s时，电压为6V，根据切割公式E=BL$\overline{v}$和$\overline{v}$=$ω•\frac{L}{2}$得到E=$\frac{1}{2}B{L}^{2}$ω列式分析；
（3）粒子能沿直线从金属板右边穿出，受重力和电场力平衡，得到电场力向上，结合右手定则判断杆的转动方向；根据平衡条件和法拉第电磁感应定律列式分析．

解答 解：（1）oa段：U=0.06ω（ω＞0），
ob段：U=0.1ω（ω＜0）；
（2）当OQ顺时针旋转时，P不导通，a、b两端的电压等于感应电动势；由法拉第电磁感应定律：U=$\frac{1}{2}$Br₁²ω
当U=6V时，角速度ω=100rad/s，解得：B=$\frac{2U}{{r}_{1}^{2}ω}$=$\frac{2×6}{0．{4}^{2}×100}$=0.75T；
（3）粒子能沿直线从金属板右边穿出，说明其所受电场力方向竖直向上，板间场强方向竖直向下．说明OQ沿逆时针方向旋转；
粒子所受电场力与重力平衡：Eq=mg，
根据法拉第电磁感应定律，有：Ed=$\frac{1}{2}$Br₁²ω，
联立解得角速度：ω=200rad/s；
答：
（1）OA段对应U与ω的关系式为U=0.06ω（ω＞0），OB段对应U与ω的关系式为U=0.1ω（ω＜0）；
（2）圆形区域内匀强磁场磁感应强度B大小为0.75T；
（3）金属杆的角速度ω为200rad/s．

点评 本题是力电综合问题，关键是明确二极管具有单向导电性，杆转动切割时感应电动势为E=BL$\overline{v}$，不难．