Question

12．如图，MN为一个竖直放置的四分之一光滑绝缘圆弧轨道，轨道半径等于R．一个质量为m、带电量为+q的小球，从M点静止开始沿圆弧轨道下滑，经最低点N沿水平方向垂直进入宽为d的有界正交的匀强电场和匀强磁场中，C₁C₂和D₁D₂为电磁场的边界，已知匀强电场的场强E₁=$\frac{mg}{q}$，方向竖直向上，匀强磁场B方向垂直纸面向里，小球经过正交电磁场后从P点与D₁D₂边成θ角射出，进入另一匀强电场区域（图中未画出），沿PQ作匀减速直线运动，到Q点时速度减为零，整个运动轨迹均在同一竖直平面内，重力加速度取g．求：
（1）正交电磁场中的磁感应强度B的大小；
（2）小球从P点运动到Q点的过程中，所在匀强电场区域的强度的最小值E₂的大小和方向；
（3）在（2）问的电场下，PQ之间的距离．

Answer 1

分析 此题的物理过程小球为先从圆弧轨道下滑，以水平速度进入三种场的复合场Ⅰ中做匀速圆周运动，最后进入两种场中复合场Ⅱ做匀减速运动至速度为零．要注意的是小球的重力不能忽略．
（1）由题设知：在复合场Ⅰ中，重力与电场力抵消，所以小球在洛仑兹力作用下做匀速圆周运动．由几何关系求得半径，再由牛顿第二定律求出磁感应强度．
（2）小球沿PQ作匀减速直线运动，则合力方向沿QP方向，根据平行四边形定则求得电场力从而得到电场强度．
（3）动能定理求得PQ之间的距离．

解答 解：（1）小球从M到N，据机械能守恒律得：
$mgR=\frac{1}{2}m{v}^{2}$…①
从而得：$v=\sqrt{2gR}$
进入复合场Ⅰ中，由于${E}_{1}=\frac{mg}{q}$，即E₁q=mg，所以重力与电磁力抵消．
小球在在洛仑兹力作用下做匀速圆周运动，其圆心在C₁C₂线上．由几何关系小球做匀速圆周运动半径：
  $r=\frac{d}{cosθ}$…②
由牛顿第二定律有：
$qvB=\frac{m{v}^{2}}{r}$…③
联立上述几式得：$B=\frac{m\sqrt{2gR}cosθ}{qd}$
（2）小球从P到Q，受到重力、电场力作用做匀减速直线运动，由题意知两力合力方向沿着QP方向．
而由于求电场强度的最小值，由几何关系知，当E₂最小时，E₂垂直于PQ．由几何关系得到：
E_2minq=mgsinθ…④
所以：电场强度最小值为：${E}_{2nin}=\frac{mgsinθ}{q}$．
（3）从P到Q，据动能定理：
$-mgcosθ•S=0-\frac{1}{2}m{v}^{2}$
代入得：PQ之间的距离为：$S=\frac{\sqrt{2gR}}{2gcosθ}$．
答：（1）正交电磁场中的磁感应强度$\frac{m\sqrt{2gR}cosθ}{qd}$．
（2）小球从P点运动到Q点的过程中，所在匀强电场区域的强度的最小值$\frac{mgsinθ}{q}$，方向垂直于PQ斜向左上方．
（3）在（2）问的电场下，PQ之间的距离$\frac{\sqrt{2gR}}{2gcosθ}$．

点评 本题的靓点有二：①是小球重力与电场力抵消，在洛仑兹力作用下做匀速圆周运动，②是在复合场Ⅱ中受电场力和重力做匀减速直线运动，则合力与运动方向相反，再由矢量合成法则得最小值垂直于PQ．