Question

20．如图所示，质量为m、带电量为q的小球在光滑导轨上运动，半圆形滑环的半径为R，小球在A点时的初速为v₀，方向和斜轨平行．整个装置放在方向竖直向下，强度为E的匀强电场中，斜轨的高为H，试问：
（1）小球到达B点时小球在B点对圆环的压力为多少？
（2）在H与R满足什么条件下，小球可以刚好通过半圆环最高点，这时小球的速度多大？

Answer 1

分析 （1）A到B运用动能定理求出B点的速度，三个力提供向心力，进而求出对轨道的压力；
（2）小球可以匀速沿半圆环到达最高点，根据动能定理可知，要求合力不做功，只能是重力和电场力平衡．

解答 解：（1）A到B过程电场力与重力做功，根据动能定理：
qEH+mgH=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$，
在B点受重力、电场力和轨道的支持力，合力提供向心力，得：
F-mg-qE=m $\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
联立以上公式，求得：
F=$\frac{2mgH+2qEH+m{v}_{0}^{2}}{mR}$+mg+qE
根据牛顿第三定律，轨道对小球的压力等于小球对轨道的压力，即 $\frac{2mgH+2qEH+m{v}_{0}^{2}}{mR}$+mg+qE；
（2）小球刚好到达半圆环最高点时，根据向心力公式得：
$mg+qE=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$
解得：$v=\sqrt{\frac{（mg+qE）R}{m}}$
根据动能定理：$（mg+qE）（H-2R）=\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
联立解得：$H=\frac{5}{2}R-\frac{m{v}_{0}^{2}}{2（mg+qE）}$
答：（1）小球在B点对圆环的压力为 $\frac{2mgH+2qEH+m{v}_{0}^{2}}{R}$+mg+qE；
（2）在H与R满足条件$H=\frac{5}{2}R-\frac{m{v}_{0}^{2}}{2（mg+qE）}$，小球可以刚好通过半圆环最高点，这时小球的速度$\sqrt{\frac{（mg+qE）R}{m}}$

点评 解决本题的关键是合力地选择研究的过程然后运用动能定理求解．以及知道在圆周运动的最低点，合力提供圆周运动的向心力．