Question

13．如图所示，一小球从半径为R的固定半圆轨道左端A点正上方某处开始做平抛运动（小球可视为质点），飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B点．O点为半圆轨道圆心，OB与水平方向夹角为60°，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　）

• A． 小球经B点后将沿着半圆轨道运动
• B． 小球在B点的加速度为$\frac{g}{2}$
• C． 小球抛出时的初速度为$\sqrt{\frac{3\sqrt{3}gR}{2}}$
• D． 小球自抛出至落地点的过程中相同时间内时的变化量不同

Answer 1

分析 根据几何知识求出平抛运动到B点的水平位移，结合速度方向，抓住平抛运动某时刻速度方向与水平方向夹角的正切值是位移与水平方向夹角正切值的2倍得出竖直位移，结合平抛运动的规律求出初速度，结合平行四边形定则求出B点的速度．抓住径向的合力提供向心力求出B点支持力为零的速度，确定出小球在B点不受支持力，从而分析判断．

解答 解：由几何知识可得，小球自抛出至B点的水平射程为 x=R+Rcos60°=$\frac{3R}{2}$，
速度方向与水平方向的夹角为30°，设位移与水平方向的夹角为α，则tanα=$\frac{y}{x}=\frac{1}{2}tan30°$，解得平抛运动的竖直位移y=$\frac{\sqrt{3}}{4}R$，
根据y=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$，x=v₀t得，平抛运动的初速度v₀=$\sqrt{\frac{3\sqrt{3}gR}{2}}$，故C正确．
小球在B点的速度${v}_{B}=\frac{{v}_{0}}{cos30°}$=$\sqrt{2\sqrt{3}gR}$，
在B点，若支持力为零，根据$mgcos30°=m\frac{{v}_{B}{′}^{2}}{R}$得，v_B′=$\sqrt{\frac{\sqrt{3}gR}{2}}$＜v_B，可知小球经过B点时，支持力为零，小球在整个过程中做平抛运动，不会验证半圆轨道运动，故A错误．
由于小球在整个过程中做平抛运动，在B点的加速度为g，相等时间内速度变化量相同，故B、D错误．
故选：C．

点评 本题考查了平抛运动、圆周运动与牛顿第二定律的综合运用，通过几何关系和平抛运动的规律求出初速度和B点的速度，通过牛顿第二定律判断B点支持力为零是解决本题的关键．