Question

3．如图所示在x轴上方以原点O为圆心、半径为R的半圆形区域内存在匀强磁场，磁场的方向垂直于xOy平面并指向纸面里，在O点沿y轴正方向不断的向磁场射入速率分别为v₁和v₂的同种粒子甲、乙，粒子甲平行x轴射出磁场，粒子乙射出磁场后，由第一象限与x轴成30°进入第四象限，不计重力和粒子间的相互作用，则（　　）

• A． 甲粒子做圆周运动的半径$\frac{\sqrt{2}}{2}$R
• B． 甲、乙粒子在磁场中运动的时间之比为3：4
• C． 甲、乙粒子的动能之比为3：1
• D． 乙粒子通过x轴的坐标为$\sqrt{3}$R

Answer 1

分析 作出粒子运动轨迹，由几何知识求出粒子轨道半径，根据粒子做圆周运动的周期公式与粒子转过的圆心角求出粒子的运动时间；根据半径公式求出速度关系，根据动能表达式求动能之比；根据几何关系求粒子乙到达x轴的坐标之比

解答 解：A、甲粒子在磁场中的运动轨迹如图，根据几何关系${R}_{甲}^{2}+{R}_{甲}^{2}={R}_{\;}^{2}$，得${R}_{甲}^{\;}=\frac{\sqrt{2}}{2}R$，故A正确．
B、根据两粒子的运动轨迹图，甲粒子轨迹圆弧所对的圆心角${θ}_{1}^{\;}$=90°，乙粒子轨迹圆弧所对的圆心角${θ}_{2}^{\;}=120°$，甲乙是同种粒子周期相同，根据$t=\frac{θ}{360}T$，$\frac{{t}_{甲}^{\;}}{{t}_{乙}^{\;}}=\frac{{θ}_{甲}^{\;}}{{θ}_{乙}^{\;}}=\frac{90°}{120°}=\frac{3}{4}$，故B正确．
C、根据几何关系求得${R}_{乙}^{\;}=\frac{R}{\sqrt{3}}$，根据洛伦兹力$qvB=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$，得$R=\frac{mv}{qB}$，动能${E}_{K}^{\;}=\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}=\frac{{q}_{\;}^{2}{B}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{2}}{2m}$，可知${E}_{K}^{\;}$与${R}_{\;}^{2}$成正比
$\frac{{E}_{K甲}^{\;}}{{E}_{K乙}^{\;}}=\frac{{R}_{甲}^{2}}{{R}_{乙}^{2}}=\frac{3}{2}$，故C错误．
D、乙粒子通过x轴坐标$x={R}_{乙}^{\;}+\frac{{R}_{乙}^{\;}}{sin30°}=3{R}_{乙}^{\;}=\sqrt{3}R$，故D正确．
故选：ABD

点评 本题考查了粒子在磁场中的运动，粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律、周期公式即可正确解题，解题时注意数学知识的应用．