Question

7．如图所示，水平地面上有一质量为M的长木板，一个质量为m的物块放在长木板的最右端，已知m与M之间的动摩擦因数为μ₁，木板与地面间的动摩擦因数为μ₂，从某时刻起物块m以v₁的水平初速度向左运动，同时木板M在水平外力F的作用下始终向右以速度v₂（v₂＞v₁）匀速运动，求：
（1）在物块m向左运动过程中外力F的大小；
（2）木板至少多长物块不会从木板上滑下来？

Answer 1

分析 （1）木板M匀速运动，受力平衡，根据其受力情况，由平衡条件求解．
（2）物块恰好从木板M滑下时，两者位移之和等于板长，且速度与木板相同，根据位移关系和速度关系列式求解．

解答 解：（1）在水平方向上，木板M受到地面向左的滑动摩擦力、m向左的滑动摩擦力和向右的拉力F，根据平衡条件得：
F=μ₁mg+μ₂（M+m）g
（2）m先向左匀减速运动，匀减速运动的加速度大小为：a=$\frac{{μ}_{1}mg}{m}$=μ₁g
减速至速度为零的时间为：t₁=$\frac{{v}_{1}}{a}$=$\frac{{v}_{1}}{{μ}_{1}g}$
物块向左匀减速运动的位移为：x₁=$\frac{{v}_{1}}{2}{t}_{1}$=$\frac{{v}_{1}^{2}}{2{μ}_{1}g}$
设物块向右匀加速至速度与木板M速度相同用时为t₂，则有：t₂=$\frac{{v}_{2}}{a}$=$\frac{{v}_{2}}{{μ}_{1}g}$
向右匀加速的位移为：x₂=$\frac{{v}_{2}}{2}{t}_{2}$=$\frac{{v}_{2}^{2}}{2{μ}_{1}g}$
此过程木板M向右匀速运动的总位移为：x′=v₂（t₁+t₂）
故物块不会从木板上滑下来木板最小的长度为：L=x′+x₁-x₂．
解得：L=$\frac{（{v}_{1}+{v}_{2}）^{2}}{2{μ}_{1}g}$
答：（1）在物块m向左运动过程中外力F的大小是μ₁mg+μ₂（M+m）g；
（2）木板至少长为$\frac{（{v}_{1}+{v}_{2}）^{2}}{2{μ}_{1}g}$时物块不会从木板上滑下来．

点评 解决本题的关键有两点：一、正确分析物块的运动情况，知道物块先向左减速后向右加速．二要把握不滑下木板的临界条件．