Question

20．长度为L，相距为d的两平行金属板加如图所示的电压，一质量为m，带电量为q的粒子从t=0时刻起，以初速度v₀沿板的中线射入两板之间，不计重力．试求：

（1）为使粒子飞出电场时的动能最大所加的电压U₀及周期T各满足什么条件；
（2）为使粒子飞出电场时的动能最小所加的电压U₀及周期T各满足什么条件．

Answer 1

分析 （1）带电粒子射入电场后，竖直方向加速和减速间隔产生，要让粒子飞出电场时的动能最大，粒子应一直加速 $\frac{T}{2}$，且沿电场方向运动的分位移等于 $\frac{d}{2}$，根据牛顿第二定律和运动学求解．
（2）为使粒子飞出电场时的动能最小，粒子在电场中运动整数倍周期，再根据牛顿第二定律和运动学求解．

解答 解：（1）要让粒子飞出电场时的动能最大应满足  $\frac{L}{{v}_{0}}$≤$\frac{T}{2}$  ①
且沿电场方向运动的分位移 y=$\frac{d}{2}$  ②
又 y=$\frac{1}{2}a{t}^{2}=\frac{q{U}_{0}{L}^{2}}{2md{v}_{0}^{2}}$
由①得 T≥$\frac{2L}{{v}_{0}}$
由②得  U₀=$\frac{m{d}^{2}{v}_{0}^{2}}{q{L}^{2}}$
（2）要让粒子飞出电场时的动能最小，应满足  $\frac{L}{{v}_{0}}$=nT    ③
且 2×$\frac{q{U}_{0}}{2md}（\frac{T}{2}）^{2}$＜$\frac{d}{2}$ ④
由③得  T=$\frac{L}{n{v}_{0}}$
由④得 U₀＜$\frac{2nm{d}^{2}{v}_{0}^{2}}{q{L}^{2}}$，（n=0、1、2、…）
答：
（1）为使粒子飞出电场时的动能最大，所加的电压U₀=$\frac{m{d}^{2}{v}_{0}^{2}}{q{L}^{2}}$，T≥$\frac{2L}{{v}_{0}}$．
（2）为使粒子飞出电场时的动能最小，所加的电压应U₀＜$\frac{2nm{d}^{2}{v}_{0}^{2}}{q{L}^{2}}$，（n=0、1、2、…），周期T=$\frac{L}{n{v}_{0}}$，（n=0、1、2、…）．

点评 本题是带电粒子在周期性变化的电场中运动的类型，分析动能最大或最小的条件是解题的关键，同时要熟练运用牛顿第二定律和运动学公式结合处理类平抛运动的问题．