Question

6．如图所示的坐标系中，x=-2cm处有一个垂直x轴放置的红热灯丝（能发射电子，电子进入电场的速度为零），长度为l=1cm．灯丝与y轴间存在着沿x轴负向的匀强电场，场强E=1000V/m，在y轴右侧某区域存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感强度B=1.5×10^-3T．已知电子的质量m=9.0×10^-31kg，电子质量e=1.6×10^-19C重力不计．
（1）求电子在磁场中运动的轨道半径；
（2）若使所有电子能通过x轴上的P（1.5，0）点，求所设置磁场区域的最小面积．

Answer 1

分析 （1）先由动能定理求出电子在加速电场中获得的速度，再由牛顿第二定律求解电子在磁场中运动的轨道半径；
（2）最上端的电子进过磁场后经过P点，由几何关系可知其轨迹为$\frac{1}{4}$圆弧OP，磁场区域面积最小，由几何关系求解．

解答 解：（1）电子在电场中加速运动，获得速度v，则 eE|x|=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
进入磁场后做匀速圆周运动，设其轨道半径为R，则由牛顿第二定律得：
vB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
联立解得：R=0.01m
（2）最上端的电子进过磁场后经过P点，由几何关系可知其轨迹为$\frac{1}{4}$圆弧OP，磁场区域面积最小，如图所示，其为最小磁场的右边界．
又因为所有电子经磁场偏转后均经过P点，因此磁场应该是圆形磁场，且磁场半径与电子的轨道半径相等，因此最小磁场的左边界应与圆弧OP关于直线OP对称，如图所示，所以最小面积为  S=2（$\frac{1}{4}π{R}^{2}$-$\frac{1}{2}{R}^{2}$）
代入解得：S=5.7×10^-5m²
答：（1）电子在磁场中运动的轨道半径为0.01m；
（2）若使所有电子能通过x轴上的P（1.5，0）点，所设置磁场区域的最小面积为5.7×10^-5m²．

点评 此题考查磁场区域面积的极值问题，此题的关键是确定出圆心及其轨迹，运用几何知识分析．