Question

4．一棱镜的截面为直角三角形ABC，∠A=30°，斜边AB=a．棱镜材料的折射率为n=$\sqrt{2}$．在此截面所在的平面内，一条光线以45°的入射角从AC边的中点M射入棱镜，求：光线从棱镜射出时，出射点的位置（不考虑光线沿原来路返回的情况）．

Answer 1

分析 光线以45°的入射角时，要分入射光线在法线的右侧和左侧两种情况进行讨论研究．根据折射定律求出光线在AC面的折射角．根据几何知识确定光线在AB或BC面上入射角．求出临界角，判断在这两个面上能否发生全反射，画出光路图，求出光线从棱镜射出的点的位置离A或B点的距离．

解答 解：设入射角为i，折射角为r，由折射定律得
$\frac{sini}{sinr}=n$，①
由已知条件及①式得r=30°，
如果入射光线在法线的右侧，设出射点为F，由几何关系可得$AF=\frac{3}{8}a$，
即出射点在AB边上离A点$\frac{3}{8}a$的位置．
如果入射光线在法线的左侧，光路图如图2所示．设折射光线与AB的交点为D．
由几何关系可知，在D点的入射角θ=60°，
设全发射的临界角为θ_C，则$sin{θ}_{C}=\frac{1}{n}$，
代入数据解得θ_C=45°，
因此，光在D点全反射．设此光线的出射点为E，由几何关系得∠DEB=90°，
BD=a-2AF，BE=BDsin30°．
联立解得BE=$\frac{1}{8}a$，即出射点在BC边上离B点$\frac{1}{8}a$的位置．
答：如果入射光线在法线的右侧，出射点在AB边上离A点$\frac{3}{8}a$的位置．如果入射光线在法线的左侧，出射点在BC边上离B点$\frac{1}{8}a$的位置．

点评 本题中入射光线的位置未知，要分析两种情况进行研究，不能漏解．要将折射定律与几何知识结合起来分析光路．