题目内容
4．
如图甲所示，金属极板A、B水平放置，极板长度为L，板间距为0.5L，两极板间的电势差为UAB随时间周期性变化的关系如图乙所示，变化周期为T，边界MN的右侧有方向垂直纸面向里的匀强磁场．一静止在两极板正中央的中性粒子，由于粒子内部的作用，在t=0时刻粒子突然分裂成两个带电微粒1、2，微粒1的质量为m1=2m，微粒2的质量为m2=m，其中微粒1带正电电荷量为q，速度方向水平向左，在t=T时刻从极板B的边缘离开，不计重力和分裂后两微粒间的相互作用，已知边界MN右侧磁场的磁感应强度大小为B=$\frac{3πm}{2qT}$，试求：（1）粒子分裂后瞬间两微粒的速度；
（2）交变电压U 的大小；
（3）微粒2在磁场中运动的轨迹半径和时间；
（4）画出两微粒大致的运动轨迹，并简要说明．
分析 （1）由微粒1的运动时间求得速度，再应用动量守恒得到微粒2的速度；
（2）根据微粒1竖直方向上的分位移，及微粒2运动过程中只受电场力作用求得电压；
（3）根据类平抛运动求得微粒2进入磁场的速度和方向，再由牛顿第二定律得到半径及周期，从而求得运动时间；
（4）根据粒子运动过程中所受合外力求得微粒的运动，进而得到运动轨迹．
解答 解：（1）粒子分裂前不带电荷，故由电荷守恒可知，分裂后，粒子1带电量+q，那么粒子2带电量为-q；设分裂后微粒1速度方向水平向左，大小为v1，那么由分裂过程动量守恒可得粒子2的速度水平向右，大小为v2=2v1；
粒子在极板间运动只受竖直方向上的电场力作用，那么水平方向分运动为匀速直线运动，则粒子1在电场中运动时间$t=T=\frac{\frac{L}{2}}{{v}_{1}}=\frac{L}{2{v}_{1}}$；所以，${v}_{1}=\frac{L}{2T}$，${v}_{2}=2{v}_{1}=\frac{L}{T}$；
（2）粒子1在$0＜t＜\frac{T}{2}$时，加速度$a=\frac{{qU}_{0}}{0.5mL}$，在$\frac{T}{2}＜t＜T$时，加速度$a'=-\frac{{qU}_{0}}{0.5mL}$，所以粒子1离开电场时的竖直分速度为0，竖直方向平均分速度$\overline{{v}_{y}}=\frac{a•\frac{T}{2}}{2}=\frac{q{U}_{0}T}{2mL}$，
所以$\frac{L}{4}=\overline{{v}_{y}}•T=\frac{q{U}_{0}{T}^{2}}{2mL}$，所以，${U}_{0}=\frac{m{L}^{2}}{2q{T}^{2}}$；
（3）粒子2分裂后的速度v2=2v1，故粒子2经过$\frac{T}{2}$就离开从右端电场；又有两粒子电荷大小相同，符号相反，故电场力大小相等，方向相反，又有粒子2的质量是粒子1的$\frac{1}{2}$，所以，粒子2的加速度a2=-2a，那么粒子2经过$\frac{T}{2}$后的竖直位移正好为$\frac{L}{4}$，粒子2从A板右边界离开电场；
粒子2进入磁场时速度v的水平分量${v}_{x}={v}_{2}=\frac{L}{T}$（水平向右），竖直分量${v}_{y}={a}_{2}•\frac{T}{2}=-\frac{L}{T}$（竖直向上）；
故$v=\frac{\sqrt{2}L}{T}$，与NM直线成45°；
粒子2在磁场中运动，只受洛伦兹力，洛伦兹力做向心力，所以有$Bvq=\frac{m{v}^{2}}{R}$，所以，$R=\frac{mv}{Bq}=\frac{2\sqrt{2}L}{3π}$；
粒子2进入磁场时，半径与NM成45°，那么由几何对称性可知，离开磁场时半径与NM也成45°，所以，粒子2在磁场中转过的中心角为270°，
那么粒子2在磁场中的运动时间$t=\frac{270°}{360°}T′=\frac{3}{4}×\frac{2πR}{v}=T$；
（4）粒子1向左运动，水平方向为匀速直线运动，竖直方向先加速后减速，加速度大小相等，且时间相等，故前一半轨迹为抛物线，后一半轨迹也为抛物线，但与与前半段反对称，之后向左匀速运动；
粒子2向右的运动轨迹为抛物线，正好经过极板A右边界，然后在磁场中转过270°，进入电场的位置与极板A的距离为$\sqrt{2}R=\frac{4L}{3π}$，此时B极板电势高，因$\frac{L}{4}＜\frac{4L}{3π}＜\frac{L}{2}$，粒子2最终打在极板A的左半侧；
所以，两粒子的运动轨迹如图所示，
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答：1）粒子分裂后瞬间微粒1的速度为$\frac{L}{2T}$，微粒2的速度为$\frac{L}{T}$；
（2）交变电压U 的大小为$\frac{m{L}^{2}}{2q{T}^{2}}$；
（3）微粒2在磁场中运动的轨迹半径为$\frac{2\sqrt{2}L}{3π}$，时间为T．
点评 在带电粒子的运动问题中，一般先对粒子进行受力分析，然后利用牛顿第二定律与运动学方程联系起来，再通过几何关系求解．
口算心算速算应用题系列答案
同步拓展阅读系列答案| A． | 向心加速度越小 | B． | 角速度越小 | C． | 线速度越小 | D． | 周期越小 |
| A． | 驱动力频率为f2时，振子处于共振状态 | |
| B． | 驱动力频率为f3时，振子振动频率为f3 | |
| C． | 假如让振子自由振动，它的频率为f2 | |
| D． | 振子做自由振动时，频率可以为f1、f2、f3 |
某研究性学习小组进行了如下实验：如图所示，在一端封闭的光滑细玻璃管中注满清水，水中放一个红蜡做成的小圆柱体R．将玻璃管的开口端用胶塞塞紧后竖直倒置且与y轴重合，在R从坐标原点以速度v0=3cm/s匀速上浮的同时，玻璃管沿x轴正方向做初速度为零的匀加速直线运动．R（R视为质点）在上升过程中运动轨迹的示意图是（ ）
实验室经常使用的电流表是磁电式仪表．这种电流表的构造如图甲所示．蹄形磁铁和铁芯间的磁场是均匀地辐向分布的．当线圈通以如图乙所示的电流，下列说法正确的是（ ）| A． | 线圈转到什么角度，它的平面都跟磁感线平行 | |
| B． | 线圈转动时，螺旋弹簧被扭动，阻碍线圈转动 | |
| C． | 现要使指针偏转角度增大，可以增大电流或减小电流表内部的磁场 | |
| D． | 当线圈转到如图乙所示的位置，如果b处电流向里安培力的作用会使线圈沿顺时针方向转动 |
| A． | 该行星的半径为$\frac{vT}{π}$ | B． | 该行星的平均密度为$\frac{3π}{G{T}^{2}}$ | ||
| C． | 该行星的质量为$\frac{{v}^{3}T}{πG}$ | D． | 该行星表面的重力加速度为$\frac{2πv}{T}$ |
如图所示，A、B是两块平行金属极板，充电后与电源断开．A板带正电，B板带负电并与地连接，有一带电微粒悬浮在两板间P点处静止不动．现将B板上移到虚线处，则下列说法正确的是（ ）| A． | 带电微粒的电性为正 | B． | 平行板电容器电容增大 | ||
| C． | 极板间P点的电势升高 | D． | 带电微粒的电势能增大 |
| A． | 有外界影响时，能观察到布朗运动 | |
| B． | 在尽量排除外界影响时，布朗运动依然存在 | |
| C． | 在实验环境相同的条件下，各个微粒的运动情况各不相同 | |
| D． | 随着温度的升高，布朗运动加剧 |