Question

8．如图所示，在xOy平面内的第一象限的圆形区域内存在磁感应强度大小为B垂直向里的匀强磁场，圆心坐标O₁（a，a），圆形区域分别与x轴、y轴相切于A、C两点；在x＜0的区域内存在场强为E、方向沿+x的匀强电场，其余区域是真空区域．质量为m、电量为q的正粒子在xOy平面内从A点沿A O₁方向射入磁场中，从C点沿x轴负方向射出，粒子重力忽略不计，试求：
（1）粒子从A点进入磁场时的速率υ₀．
（2）若粒子仍以速率υ₀，沿与x轴正方向成30°角，由A点射入磁场，则该粒子到达电场中最远点的位置坐标．
（3）在满足（2）中的条件下，粒子由A点射入到第二次进入真空区所经历的总时间．

Answer 1

分析 （1）正粒子在磁场中做匀速圆周运动，画出轨迹，结合几何关系求解轨道半径，根据牛顿第二定律列式求解磁感应强度；
（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，出磁场后做匀速直线运动，进入电场后在电场中做匀减速直线运动，根据匀减速直线运动的位移公式列式求解即可；
（3）结合t=$\frac{θ}{2π}•T$求出粒子在磁场中运动的时间，然后由x=vt求出粒子在真空运动的时间，最后由匀变速运动的速度时间关系求出粒子在电场中运动的时间，最后求和即可．

解答 解：（1）正粒子在xOy平面内从A点沿A O₁方向射入磁场中，从C点沿x轴负方向射出，则粒子在磁场中偏转的角度是90°，所以粒子运动的轨迹的半径与圆形磁场的半径相等，即r=a；
由洛伦兹力提供向心力得：$q{v}_{0}B=\frac{m{v}_{0}^{2}}{r}$
所以：${v}_{0}=\frac{qBa}{m}$
（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，出磁场后做匀速直线运动，其运动的轨迹如图，
粒子的轨迹的圆心的位置：x_O2=a-r•sin30°=a-0.5a=0.5a；${y}_{O2}=r•cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}a$
所以粒子运动的轨迹与圆形磁场的边界的交点D位于其圆心O₂点的上方，由图可知，粒子出射的方向与y轴垂直．
D点的纵坐标：${y}_{D}=r+rcos30°=a+\frac{\sqrt{3}}{2}a$
粒子垂直于y轴进入电场后，做匀减速直线运动，其加速度：${a}_{x}=\frac{qE}{m}$
粒子运动的最大位移：$x=\frac{{v}_{0}^{2}}{2{a}_{x}}=\frac{\frac{{q}^{2}{B}^{2}{a}^{2}}{{m}^{2}}}{2×\frac{qE}{m}}=\frac{q{B}^{2}{a}^{2}}{2mE}$
则该粒子到达电场中最远点的位置坐标为：（-$\frac{q{B}^{2}{a}^{2}}{2mE}$，$a+\frac{\sqrt{3}}{2}a$）
（3）由图可知，粒子在磁场中偏转的角度是180°-30°=150°
粒子在磁场中运动的周期：$T=\frac{2πr}{{v}_{0}}=\frac{2πm}{qB}$
则粒子在磁场中运动的时间：${t}_{1}=\frac{150°}{360°}•T=\frac{5}{12}•\frac{2πm}{qB}=\frac{5πm}{6qB}$
粒子在真空中运动的时间：${t}_{2}=\frac{{x}_{O2}}{{v}_{0}}=\frac{0.5a}{\frac{qBa}{m}}=\frac{2m}{qB}$
粒子在电场中返回的时间：${t}_{3}=\frac{2{v}_{0}}{{a}_{x}}=\frac{\frac{2qBa}{m}}{\frac{qE}{m}}=\frac{2Ba}{E}$
粒子由A点射入到第二次进入真空区所经历的总时间：t=t₁+t₂+t₃=$\frac{5πm}{6qB}+\frac{2m}{qB}+\frac{2Ba}{E}$．
答：（1）粒子从A点进入磁场时的速率是$\frac{qBa}{m}$．
（2）若粒子仍以速率υ₀，沿与x轴正方向成30°角，由A点射入磁场，则该粒子到达电场中最远点的位置坐标（-$\frac{q{B}^{2}{a}^{2}}{2mE}$，$a+\frac{\sqrt{3}}{2}a$）．
（3）在满足（2）中的条件下，粒子由A点射入到第二次进入真空区所经历的总时间是$\frac{5πm}{6qB}+\frac{2m}{qB}+\frac{2Ba}{E}$．

点评 本题关键是明确粒子的运动规律、画出运动轨迹，然后结合牛顿第二定律、匀减速直线运动的位移公式和几何关系列式求解．