Question

8．如图所示，同步卫星离地心O 的距离为 r，运行速率为v₁，加速度为a₁；地球赤道上的物体随地球自转的加速度为a₂；第一宇宙速度为v₂；地球的质量为M，半径为R，赤道处的重力加速度为g．万有引力常数为G，则下列比值正确的是（　　）

• A． $\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}$=（$\frac{R}{r}$）²
• B． $\frac{{a}_{1}}{g}$=$\frac{1}{1}$
• C． $\frac{{a}_{2}}{g}$=$\frac{GM}{g{R}^{2}}$-1
• D． $\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}$=$\frac{r}{R}$

Answer 1

分析 第一宇宙速度即为近地卫星的环绕速度．
同步卫星和近地卫星都绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力去求两卫星的线速度之比．
同步卫星与地球赤道上的物体具有相同的角速度，根据a=rω²，去求两者的向心加速度之比

解答 解：A、因为地球同步卫星的角速度和地球赤道上的物体随地球自转的角速度相同，
由a₁=ω²R，a₂=ω²r可得，$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}=\frac{r}{R}$，故A错误．
B、对于地球同步卫星和以第一宇宙速度运动的近地卫星，由万有引力提供做匀速圆周运动所需向心力得到：
ma₁=$\frac{GMm}{{r}^{2}}$
在地球的表面，重力近似等于万有引力，则：mg=$\frac{GMm}{{R}^{2}}$
所以：$\frac{{a}_{1}}{g}=\frac{{R}^{2}}{{r}^{2}}$．故B错误；
C、在赤道处，物体受到的万有引力的一部分提供向心力，则：ma₂=$\frac{GMm}{{R}^{2}}$-mg
所以：$\frac{{a}_{2}}{g}=\frac{GM}{g{R}^{2}}$-1．故C正确；
D、由万有引力提供向心力得：$\frac{GmM}{{r}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$，M为地球质量，r为轨道半径．得$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}=\sqrt{\frac{R}{r}}$，故D错误．
故选：C

点评 求一个物理量之比，我们应该把这个物理量先用已知的物理量表示出来，再进行之比．
解决本题的关键掌握万有引力提供向心力以及知道同步卫星与地球赤道上的物体具有相同的角速度．