Question

13．电磁感应式无线充电的工作原理如图1所示，由送电线圈和受电线圈组成．某兴趣小组在模拟研究时，受电线圈的匝数为n=50匝，面积S=0.02m²，电阻r=1.0Ω，在它的两端接一只电阻R=9.0Ω的小灯泡如图（甲）所示．假设在受电线圈内存在与线圈平面垂直的磁场均匀分布，其磁感应强度随时间按图（乙）所示的规律变化，受电线圈中产生的感应电动势瞬时值的表达式e=nB_mS$\frac{2π}{T}$cos$\frac{2π}{T}$t，其中B_m为磁感应强度的最大值，T为磁场变化的周期，不计灯丝电阻随温度的变化．求
（1）线圈中产生感应电动势的最大值；
（2）小灯泡消耗的电功率；
（3）在磁感应强度变化的$\frac{T}{4}$-$\frac{3T}{4}$的时间内，通过小灯泡的电荷量．

Answer 1

分析 （1）根据受电线圈中产生的感应电动势瞬时值的表达式，知感应电动势的最大值${E}_{m}^{\;}=n{B}_{m}^{\;}S\frac{2π}{T}$，代入数据求出最大值；
（2）求出电路中电流的最大值和有效值，根据$P={I}_{\;}^{2}R$求出小灯泡消耗的电功率；
（3）求出平均感应电动势和平均电流，根据$Q=\overline{I}•△t$求通过灯泡的电荷量

解答 解：（1）由图象可知周期为$T=π×1{0}_{\;}^{-3}s$，${B}_{m}^{\;}=1×1{0}_{\;}^{-2}T$
线圈中感应电动势的最大值${E}_{m}^{\;}=n{B}_{m}^{\;}S\frac{2π}{T}=20V$
（2）电路中电流的最大值为${I}_{m}^{\;}=\frac{{E}_{m}^{\;}}{R+r}=2A$
通过小灯泡电流的有效值为$I=\frac{{I}_{m}^{\;}}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}A$
小灯泡消耗的电功率为$P={I}_{\;}^{2}R=18W$
（3）线圈中感应电动势的平均值$\overline{E}=nS\frac{△B}{△t}$
通过灯泡的平均电流$\overline{I}=\frac{\overline{E}}{R+r}$
通过灯泡的电荷量$Q=\overline{I}t$
由上述三式可得$Q=nS\frac{△B}{R+r}=2×1{0}_{\;}^{-3}C$
答：（1）线圈中产生感应电动势的最大值20V；
（2）小灯泡消耗的电功率18W；
（3）在磁感应强度变化的$\frac{T}{4}$-$\frac{3T}{4}$的时间内，通过小灯泡的电荷量$2×1{0}_{\;}^{-3}C$

点评 求解交变电流的电功率时要用有效值．在电磁感应中通过导体截面的电量经验公式是Q=n$\frac{△Φ}{R+r}$，可以在推导的基础上记住．