Question

16．如图所示，光滑且足够长的平行金属导轨MN、PQ固定在竖直平面内，两导轨间的距离为L，导轨间连接一个定值电阻，阻值为R，导轨上放一质量为m，电阻为r=$\frac{R}{2}$的金属杆ab，金属杆始终与导轨连接良好，其余电阻不计，整个装置处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场的方向垂直导轨平面向里．重力加速度为g，现让金属杆从虚线水平位置处由静止释放．
（1）求金属杆的最大速度v_m；
（2）若从金属杆开始下落到刚好达到最大速度的过程中，金属杆下落的位移为x，经历的时间为t，为了求出电阻R上产生的焦耳热Q，某同学做了如下解答：
①v=$\frac{x}{t}$②I=$\frac{BLv}{R+r}$③Q=I²Rt
联立①②③式求解出Q．
请判断该同学的做法是否正确；若正确请说明理由，若不正确请写出正确解答．

Answer 1

分析 （1）金属杆释放后受重力和向上的安培力，做加速度逐渐减小的加速运动，当加速度减为零后做匀速直线运动，根据平衡条件、切割公式、欧姆定律公式和安培力公式列式求解；
（2）该同学的解答中，认为感应电流是恒定电流是错误的，应该利用功能关系列式求解．

解答 解：（1）对金属杆，由牛顿第二定律得：mg-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R+r}$=ma，
导体棒受到的安培力：F=BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R+r}$，
金属杆做加速度减小的加速运动，当加速度为零时，速度达到最大，
由平衡条件得：mg=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{m}}{R+r}$，解得：v_m=$\frac{3mgR}{2{B}^{2}{L}^{2}}$；
（2）该同学的做法错误，正确做法如下：
从金属杆开始下落到刚好达到最大速度的过程中，由动能定理有：
mgx-W_F安培=$\frac{1}{2}$mv_m²-0，mgx-Q=$\frac{1}{2}$m$（\frac{3mgR}{2{B}^{2}{L}^{2}}）^{2}$-0，
电阻R上产生的焦耳热：Q_R=$\frac{R}{R+r}$Q，解得：Q_R=$\frac{2}{3}$（mgx-$\frac{9{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{8{B}^{4}{L}^{4}}$）；
答：（1）金属杆的最大速度v_m为$\frac{3mgR}{2{B}^{2}{L}^{2}}$；
（2）该同学的做法是错误的；产生的焦耳热为$\frac{2}{3}$（mgx-$\frac{9{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{8{B}^{4}{L}^{4}}$）．

点评 本题是滑杆问题，关键是明确杆的受力情况和运动情况，要熟练运用切割公式、安培力公式列式分析，还要熟悉电路中的功能关系．