Question

9．如图所示光滑管形圆轨道半径为R（管径远小于R），小球a、b大小相同，质量相同，均为m，其直径略小于管径，能在管中无摩擦运动两球先后以相同速度v通过轨道最低点，且当小球a在最低点时，小球b在最高点，以下说法正确的是（　　）

• A． 当v=$\sqrt{5gR}$时，小球b在轨道最高点对轨道无压力
• B． 当小球b在最高点对轨道无压力时，小球a比小球b所需向心力大5mg
• C． 速度v至少为$\sqrt{5gR}$，才能使两球在管内做圆周运动
• D． 只要v≥$\sqrt{5gR}$，小球a对轨道最低点压力比小球b对轨道最高点压力都大6mg

Answer 1

分析 根据小球的速度，抓住径向的合力提供向心力求出小球在最高点和最低点所受的弹力，从而得出在最高点和最低点的压力差；根据最高点的最小速度，通过动能定理求出小球在最低点的最小速度．

解答 解：A、当小球b在轨道最高点对轨道无压力，根据牛顿第二定律得，mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，解得v=$\sqrt{gR}$．根据动能定理得mg2R=$\frac{1}{2}$mv²-$\frac{1}{2}$mv′²，解得v=$\sqrt{5gR}$．故A正确．
B、小球b通过最高点无压力时，速度v=$\sqrt{gR}$，设小球a在最低点的速度为v′，根据动能定理知，mg•2R=$\frac{1}{2}$mv′²-$\frac{1}{2}$mv²，解得v′=$\sqrt{5gR}$．
所以小球a在最低点的向心力为Fn=m$\frac{v{′}^{2}}{R}$=5mg，b球在最高点的向心力Fn′=m$\frac{{v}^{2}}{R}$=mg，小球a比小球b所需的向心力大4mg．故B错误．
C、小球通过最高点的最小速度为零，根据动能定理得，mg•2R=$\frac{1}{2}$mv2-0，解得最小速度v=$\sqrt{4gR}$．故C错误．
D、v≥$\sqrt{5gR}$时，最高点的速度大于等于$\sqrt{gR}$，则小球在最高点受到向下的弹力，设小球在最高点的速度为v₁，最低点的速度为v₂，根据牛顿第二定律得，
最高点F₁+mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$，最低点F₂-mg=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$，则压力差△F=F₂-F₁=2mg+m（$\frac{{v}_{2}^{2}-{v}_{1}^{2}}{R}$），又mg•2R=$\frac{1}{2}$mv₂²-$\frac{1}{2}$mv₁²，解得△F=6mg．故D正确．
故选：AD．

点评 本题考查牛顿第二定律和动能定理的综合，知道圆周运动向心力的来源，以及小球通过最高点的临界情况是解决本题的关键．本题中应注意与杆模型类似．