Question

1．如图所示，光滑水平面有一静止小车，长L=2m、质量M=4kg，小车上表面粗糙、左端有质量m=2kg、带正电q=1.8C的小物块（可视为质点，运动过程电量不变），距离小车右端X处有一竖直挡板，挡板与小车等高，挡板右端空间存在竖直向下的匀强电场E=100N/C，不远处有竖直平面内倾斜的传送带，传送带与水平面的夹角θ=37°，传送带上端C点和下端D点的高度差为h=1.2m．传送带下端D点处有一个和传送带垂直的挡板P，现让小物块瞬间获得水平速度v₀=6m/s，若小车与挡板碰前小物块刚好滑到小车右端，小车与挡板相碰即停止运动且不反弹，而小物块以速度v_H=4m/s水平抛出，恰好从C点沿平行于传送带的方向飞上传送带并沿传送带运动，小物块沿挡板P碰撞后以大小不变的速度反弹（sin37°=0.6，cos37°=0.8，g取10m/s²）
（1）求小车与挡板碰前瞬间的速度及小车右端与挡板距离X的大小；
（2）若小物块与传送带的动摩擦因数μ₁=0.8，传送带v=2m/s的速度如图所示顺时针运动，求小物块与P碰撞后反弹瞬间的速度大小
（3）若小物块和传送带的动摩擦因数μ₂=0.6，传送带不动，求小物体在传送带上运动过程中系统因摩擦产生的热量．

Answer 1

分析 （1）小车与挡板碰前瞬间，小物块和小车组成的系统动量守恒，由动量守恒定律求小车与挡板碰前瞬间的速度．根据小物块与小车的位移之差等于L，求出小物块在小车上运动的时间，再根据位移等于平均速度乘以时间来求小车右端与挡板距离x．
（2）小物块水平抛出后做类平抛运动，根据速度的分解求出它到达C点的速度．由动能定理求小物块速度减至与传送带同速时运动的位移，判断小物块的运动状态，从而求得小物块与P碰撞后反弹瞬间的速度大小．
（3）传送带不动，根据能量守恒定律求系统因摩擦产生的热量．

解答 解：（1）设小车与挡板碰前瞬间的速度为v_M．小物块在小车上运动的过程，两者构成的系统动量守恒，取水平向右为正方向，根据动量守恒定律得
    mv₀=mv_H+Mv_M．
代入数据解得 v_M=1m/s
设小物块在小车上运动的时间为t，则有  L=$\frac{{v}_{0}+{v}_{H}}{2}t$-$\frac{{v}_{M}}{2}t$
小车右端与挡板距离 x=$\frac{{v}_{M}}{2}t$
联立解得 x=$\frac{2}{9}$m
（2）小物块水平抛出后做类平抛运动，到达C点的速度为 v_C=$\frac{{v}_{H}}{cos37°}$=5m/s
由于（mg+qE）sin37°＜μ₁（mg+qE）cos37°，所以小物块滑上传送带后做匀减速运动，设速度减至与传送带同速时运动的位移为S．
根据动能定理得：[（mg+qE）sin37°-μ₁（mg+qE）cos37°]S=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
解得 S=$\frac{21}{8}$m
传送带的长度为 l=$\frac{h}{sin37°}$=$\frac{1.2}{0.6}$=2m
所以 S＞2m，小物块到达P处时速度还没有与传送带相同，设小物块刚到达P处时速度为v₁．
根据动能定理得：[（mg+qE）sin37°-μ₁（mg+qE）cos37°]l=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
解得 v₁=$\sqrt{41}$m/s
（3）若小物块和传送带的动摩擦因数μ₂=0.6，传送带不动，则（mg+qE）sin37°＞μ₁（mg+qE）cos37°，小物块滑上传送带后做匀加速运动，设小物块刚到达P处时速度为v₂．根据动能定理得：[（mg+qE）sin37°-μ₂（mg+qE）cos37°]l=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
解得 v₂=7m/s
小物块与挡板P碰撞后以大小不变的速度反弹，反弹后沿传送带向上做匀减速运动，设经过位移S₁速度减至零．
根据动能定理得-[（mg+qE）sin37°+μ₂（mg+qE）cos37°]S₁=0-$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$
解得 S₁=$\frac{49}{216}$m＜l=2m
由于（mg+qE）sin37°＞μ₁（mg+qE）cos37°，所以小物块不能停在最高点，又继续下滑，由于机械能不断损失，最终小物块停在P上．
设全程小物块在传送带上运动的距离为 S_总．对全程，由动能定理得
   （mg+qE）h-μ₂（mg+qE）cos37°•S_总=0-$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
小物体在传送带上运动过程中系统因摩擦产生的热量为 Q=μ₂（mg+qE）cos37°•S_总．
解得 Q=265J
答：
（1）小车与挡板碰前瞬间的速度是1m/s，小车右端与挡板距离X的大小是$\frac{2}{9}$m；
（2）若小物块与传送带的动摩擦因数μ₁=0.8，传送带v=2m/s的速度如图所示顺时针运动，小物块与P碰撞后反弹瞬间的速度大小是$\sqrt{41}$m/s．
（3）若小物块和传送带的动摩擦因数μ₂=0.6，传送带不动，小物体在传送带上运动过程中系统因摩擦产生的热量是265J．

点评 本题中小物块的运动过程较为复杂，要分成几个子过程分析．在解题时要注意正确分析过程及受力情况，再根据需要合理地选择物理规律．