Question

11．如图所示，两根光滑的平行金属导轨处于同一水平面内，相距L=0.3m，导轨的左端M、N用R=0.2Ω的电阻相连，导轨电阻不计，导轨上跨接一电阻r=0.1Ω的金属杆，质量m=0.1kg，整个装置放在竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度B=1T，现对杆施一水平向右的拉力F=1.5N，使它由静止开的运动，求：
（1）杆能达到的最大的速度为多大？此时拉力的瞬时功率多大？
（2）当杆的速度v=2.5m/s时，杆的加速度多大？

Answer 1

分析 （1）杆向右运动时，在水平方向受两个力：拉力和安培力，安培力随着速度的增大而增大，这样杆的合力减小，加速度减小，杆做加速度减小的变加速运动，当安培力增大到与安培力平衡时，合力为零，杆的速度最大．根据平衡条件和安培力与速度的关系式求解最大速度，再求拉力的瞬时功率．
（2）根据法拉第电磁感应定律和欧姆定律结合求得感应电流I，再根据牛顿第二定律和安培力公式求加速度．

解答 解：（1）杆达到最大速度v_m时，安培力和拉力平衡，有：
F_安=BIL=B$\frac{BL{v}_{m}}{R+r}$L=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{m}}{R+r}$
由平衡条件得：F=F_安=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{m}}{R+r}$
即得：v_m=$\frac{F（R+r）}{{B}^{2}{L}^{2}}$=$\frac{1.5×（0.2+0.1）}{{1}^{2}×0．{3}^{2}}$=5m/s．
此时拉力的瞬时功率为：P=Fv=1.5×5W=7.5W．
（2）当杆的速度为2.5m/s时，杆切割磁感线产生的感应电动势为：E=BLv=1×0.3×2.5V=0.75V
ab杆中产生的电流方向沿a指向b，此时杆受到的安培力为：F_安=BI′L=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R+r}$=$\frac{{1}^{2}×0．{3}^{2}×2.5}{0.2+0.1}$V=0.75V；
根据左手定则，安培力的方向水平向左．
对杆受力分析，在水平方向杆受两个力，拉力为：F=1.5N方向向右，安培力为：F_安=0.75N，方向水平向左
则杆在水平方向受到的合力为：F_合=F-F_安=1.5-0.75N=0.75N，方向水平向右．
根据牛顿第二定律，杆产生的加速度为：a=$\frac{{F}_{合}}{m}$=$\frac{0.75}{0.1}$=7.5m/s²；
答：（1）杆能达到的最大的速度为5m/s，此时拉力的瞬时功率为7.5W
（2）速度为2.5m/s时的加速度为7.5m/s²．

点评 本题与汽车起动相似，要正确分析杆的受力情况，抓住安培力的可变性分析其运动情况，知道杆速度最大时，拉力等于安培力即处于平衡状态，杆所受合力为0．