题目内容
10．如图（甲），MN、PQ两条平行的金属轨道与水平面成θ=30°角固定，M、P之间接电阻箱R，电阻箱的阻值范围为0～4Ω，导轨所在空间存在匀强磁场，磁场方向垂直于轨道平面向上，磁感应强度为B=0.5T．质量为m的金属杆ab水平放置在轨道上，并垂直轨道，其接入电路的电阻值为r．金属棒和轨道间的动摩擦因素为μ=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，现从静止释放杆a b，测得最大速度为vm．改变电阻箱的阻值R，得到vm与R的关系如图（乙）所示．已知轨距为L=2m，重力加速度g=10m/s2，轨道足够长且电阻不计．
（1）求金属杆的质量m和阻值r；
（2）求金属杆匀速下滑时电阻箱消耗电功率的最大值Pm；
（3）当R=4Ω时，求随着杆ab下滑回路瞬时电功率每增大1W的过程中合外力对杆做的功W．
分析 （1）金属杆从静止开始先做加速度减小的变加速运动，最后是匀速运动，受重力、支持力和安培力而平衡，根据平衡条件推导出 最大速度vm与R的关系表达式结合图象分析；
（2）根据功能关系求解金属杆匀速下滑时电阻箱消耗电功率的最大值Pm；
（3）当变阻箱R取4Ω，根据图象得到最大速度，然后结合切割公式和电功率表达式分析．
解答 解：（1）电路的总电阻：R总=R+r
根据闭合电路欧姆定律，电流：
I=$\frac{BLv}{R+r}$
当达到最大速度时杆平衡，有：
mgsinθ=BIL+μmgcosθ=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{m}}{R+r}$+μmgcosθ
即：vm=$\frac{mg（sinθ-μcosθ）（R+r）}{{B}^{2}{L}^{2}}$=$\frac{m×10×（sin30°-\frac{\sqrt{3}}{6}×cos30°）×（R+r）}{0．{5}^{2}×{2}^{2}}$=2.5m（R+r）
图象的斜率 k=1，则得2.5m=1，m=0.4kg
纵轴截距 b=2，则得 2.5mr=2，得 r=2Ω
（2）金属杆匀速下滑时电流稳定，设为I．
根据平衡条件得
mgsinθ=BIL+μmgcosθ
得 I=$\frac{mg（sinθ-μcosθ）}{BL}$=$\frac{4×（sin30°-\frac{\sqrt{3}}{6}×cos30°）}{0.5×2}$A=1A
故金属杆匀速下滑时电阻箱消耗电功率的最大值 Pm=I2Rm=12×4W=4W
（3）由题意：E=BLv，P=$\frac{{E}^{2}}{R+r}$
得 P=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}^{2}}{R+r}$
则△P=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{2}^{2}}{R+r}$-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{1}^{2}}{R+r}$
由动能定理得：
W=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
联立得 W=$\frac{m（R+r）}{2{B}^{2}{L}^{2}}△$P=$\frac{0.4×（4+2）}{2×0．{5}^{2}×{2}^{2}}×$1J=1.2J
答：
（1）金属杆的质量m是，0.4kg，阻值r是2Ω；
（2）金属杆匀速下滑时电阻箱消耗电功率的最大值Pm是4W．
（3）当R=4Ω时，随着杆ab下滑回路瞬时电功率每增大1W的过程中合外力对杆做的功W是1.2J．
点评 本题关键是明确导体棒的受力情况和运动规律，然后根据切割公式、牛顿第二定律、电功率表达式列式分析．
口算能手系列答案
如图所示，在光滑绝缘的水平面上方，有两个方向相反的水平方向的匀强磁场，PQ为两磁场的边界，磁场范围足够大，磁感应强度的大小分别为B1=B，B2=2B，一个竖直放置的边长为a、质量为m、电阻为R的正方形金属线框，以初速度v垂直磁场方向从图中实线位置开始向右运动，当线框运动到在每个磁场中各有一半的面积时，线框的速度为$\frac{v}{2}$，则下列判断正确的是（ ）| A． | 此过程中通过线框截面的电量为$\frac{3B{a}^{2}}{2R}$ | |
| B． | 此过程中线框克服安培力做的功为$\frac{3}{8}$mv2 | |
| C． | 此时线框的加速度为$\frac{9{B}^{2}{a}^{2}v}{2mR}$ | |
| D． | 此时线框中的电功率为$\frac{9{B}^{2}{a}^{2}{v}^{2}}{2R}$ |
如图所示，在x轴下方存在着正交的电场与磁场，电场方向沿x轴正方向，电场强度大小为E1，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B1．一个质量m=3g，电荷量q=2×10-3 C的带正电小球自y轴上的M点沿直线匀速运动到x轴上的N点，速度大小v=5 m/s，方向与水平方向成θ=53°角，且已知OM=4 m．在x轴上方存在正交的匀强电场E2与匀强磁场B2（图中均未画出），小球在x轴上方做圆周运动，恰好与y轴相切，运动轨迹如图所示．（g=10 m/s2，sin53°=0.8）求：
如图所示，水平面内的正方形ABCD的边长为2R．质量为m，电荷量为+q的粒子（重力不计）从AD边的中点以某一初速度进入正方形区域，若正方形区域内加方向与AD平行、大小为E的匀强电场，粒子恰好从CD的中点离开正方形区域，若在正方形区域内加上方向垂直纸面向里，大小为B的匀强磁场，粒子恰好从AB边的中点离开正方形区域，则该粒子的荷质比为（ ）| A． | $\frac{E}{2{B}^{2}R}$ | B． | $\frac{B}{{E}^{2}R}$ | C． | $\frac{E}{{B}^{2}R}$ | D． | $\frac{B}{2{E}^{2}R}$ |
如图所示必须是半径为r的$\frac{1}{4}$圆弧形的光滑且绝缘的轨道，位于竖直平面内，其下端与水平绝缘轨道平滑连接，整个轨道处在是水平向左的匀强电场中，电场强度为E，今有一质量为m，带正电q的小滑块（体积很小可以视为质点），从C点由静止释放，滑道水平轨道上的A点时速度减为零，若已知滑块与水平轨道间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，忽略因摩擦而造成的电量损失．
如图所示，光滑绝缘墙壁上O点的上方有一个带电量不变的小球A，O点左侧与O点在同一水平线上有另一带同种电荷的小球B，当B带电量为q1时，A恰好处于静止，此时A、B的连线与竖直方向的夹角θ1=30°，保证小球B与O点在同一水平方向上且与O点距离不变，当B的带电量为q2时，A、B的连线与竖直方向的夹角θ2=60°，则$\frac{{q}_{1}}{{q}_{2}}$为（ ）| A． | $\sqrt{3}$ | B． | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ | C． | 3$\sqrt{3}$ | D． | $\frac{\sqrt{3}}{9}$ |
如图所示，一个电阻不计的导体棒ab放在电阻不计的足够长的导轨上（导轨间距为L），他们接触良好，导轨光滑，导轨与水平面间的夹角为θ；导轨上边接一个阻值为R的电阻，一磁感强度为B的匀强磁场垂直导轨表面向上，ab棒质量为m，重力加速度为g；现将ab棒由静止释放，求：
如图所示，甲、乙、丙三个物体放在匀速转动的水平粗糙圆台上，甲的质量为2m，乙、丙的质量均为m，甲、乙离轴为R，丙离轴为2R，则当圆台旋转时（设甲、乙、丙始终与圆台保持相对静止）（ ）| A． | 甲物体的线速度比丙物体的线速度小 | |
| B． | 乙物体的角速度比丙物体的角速度小 | |
| C． | 甲物体的向心加速度比乙物体的向心加速度大 | |
| D． | 乙物体受到的向心力比丙物体受到的向心力小 |