Question

2．如图所示，在平面直角坐标系xOy所在的平面内，有垂直于该面向外的匀强磁场，磁感应强度为B．在xOy平面内，从坐标原点O沿着与x轴正方向成θ=60°角及x轴正方向先后发射电荷量均为+q、质量均为m、速度大小均为v的两个带电粒子．不计粒子的重力和粒子间的相互作用力．两粒子的运动轨迹除O点之外还有一个交点．试求出该交点的坐标．

Answer 1

分析 粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律求出粒子的轨道半径，求出粒子的轨迹方程，然后求出两粒子运动轨迹的交点坐标值．

解答 解：粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，
由牛顿第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，解得：r=$\frac{mv}{qB}$，
两粒子的运动轨迹如图所示：

由几何知识可得，圆的圆心坐标为：
a₁=rcos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$r，b₁=-rsin30°=-$\frac{1}{2}$r，
a₂=0，b₂=-r，两粒子做圆周运动的轨迹方程：
（x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$r）²+（y+$\frac{1}{2}$r）²=r² ①x²+（y+r）²=r² ②，
由①②解得，两圆的交点坐标值为：x₁=0，y₁=0，
x₂=$\frac{\sqrt{3}}{2}$r=$\frac{\sqrt{3}mv}{2qB}$，y₂=-$\frac{3}{2}$r=-$\frac{3mv}{2qB}$；
答：两粒子的运动轨迹除O点之外还有一个交点，该交点的坐标为（$\frac{\sqrt{3}mv}{2qB}$，-$\frac{3mv}{2qB}$）．

点评 本题考查了求两粒子运动轨迹交点坐标值，由牛顿第二定律求出力的做圆周运动的轨道半径；粒子在磁场中做匀速圆周运动，求出粒子的轨迹方程，解两轨迹方程组成的方程组即可求出粒子运动轨迹的交点坐标值．