Question

8．经长期观测，人们在宇宙中已经发现了“双星系统”．“双星系统”由相距较近的恒星组成，每个恒星的半径远小于两个恒星之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体，它们在相互间的万有引力作用下，绕某一点做匀速圆周运动，如图所示为某一双星系统，A星球的质量为m₁，B星球的质量为m₂，它们中心之间的距离为L，引力常量为G，则下列说法正确的是（　　）

• A． A星球的轨道半径为R=$\frac{{m}_{1}}{{m}_{1}+{m}_{2}}$L
• B． B星球的轨道半径为r=$\frac{{m}_{2}}{{m}_{1}}$L
• C． 双星运行的周期为T=2πL$\sqrt{\frac{L}{G（{m}_{1}+{m}_{2}）}}$
• D． 若近似认为B星球绕A星球中心做圆周运动，则B星球的运行周期为T=2πL$\sqrt{\frac{L}{G{m}_{1}}}$

Answer 1

分析 双星靠相互间的万有引力提供向心力，具有相同的角速度．应用牛顿第二定律列方程求解

解答 解：AB、双星靠他们之间的万有引力提供向心力，A星球的轨道半径为R，B星球的轨道半径为r，根据万有引力提供向心力有：
$G\frac{{m}_{1}^{\;}{m}_{2}^{\;}}{{L}_{\;}^{2}}={m}_{1}^{\;}{ω}_{\;}^{2}R={m}_{2}^{\;}{ω}_{\;}^{2}r$
得${m}_{1}^{\;}R={m}_{2}^{\;}r$
且R+r=L
解得：$R=\frac{{m}_{2}^{\;}}{{m}_{1}^{\;}+{m}_{2}^{\;}}L$
$r=\frac{{m}_{1}^{\;}}{{m}_{1}^{\;}+{m}_{2}^{\;}}L$
故A错误，B错误；
C、根据万有引力等于向心力$G\frac{{m}_{1}^{\;}{m}_{2}^{\;}}{{L}_{\;}^{2}}={m}_{1}^{\;}\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}R={m}_{2}^{\;}\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r$
得$G{m}_{2}^{\;}{T}_{\;}^{2}=4{π}_{\;}^{2}R{L}_{\;}^{2}$
$G{m}_{1}^{\;}{T}_{\;}^{2}=4{π}_{\;}^{2}r{L}_{\;}^{2}$
得$G（{m}_{1}^{\;}+{m}_{2}^{\;}）{T}_{\;}^{2}=4{π}_{\;}^{2}（R+r）{L}_{\;}^{2}=4{π}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{3}$
解得：$T=\sqrt{\frac{4{π}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{3}}{G（{m}_{1}^{\;}+{m}_{2}^{\;}）}}$=$2πL\sqrt{\frac{L}{G（{m}_{1}^{\;}+{m}_{2}^{\;}）}}$，故C正确；
D、若近似认为B星球绕A星球中心做圆周运动，则根据万有引力提供向心力有：
$G\frac{{m}_{1}^{\;}{m}_{2}^{\;}}{{L}_{\;}^{2}}={m}_{2}^{\;}\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}L$
解得：$T=\sqrt{\frac{4{π}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{3}}{G{m}_{1}^{\;}}}$=$2πL\sqrt{\frac{L}{G{m}_{1}^{\;}}}$，故D正确；
故选：CD

点评 解决本题的关键知道双星靠相互间的万有引力提供向心力，具有相同的角速度．以及会用万有引力提供向心力进行求解