Question

14．“神舟”六号飞船一飞冲天，一举成功，再次把中国人“巡天遥看一天河”的陆地梦想变成“手可摘星辰，揽明月”的太空现实．“神舟”六号飞船点火发射时，飞船处于一个加速过程，在加速过程中宇航员处于超重状态．人们把这种状态下宇航员所受支持力F_N与在地表面时重力mg的比值K=$\frac{{F}_{N}}{mg}$称为载荷值．
（1）假设宇航员在超重状态下载荷值的最大值为K=7，飞船带着宇航员竖直向上发射时的加速度a的最大值为多少？（已知地球表面的重力加速度g=10m/s²．）
（2）“神舟”六号飞船发射成功后，进入圆形轨道稳定运行，运转一圈的时间为T，地球的半径为R，表面的重力加速度为g，万有引力常量为G，试求这一圆形轨道距离地面的高度H．（用R、g、T、G表示）

Answer 1

分析 （1）运用牛顿第二定律对宇航员研究F-mg=ma，因为F=kmg，所以kmg-mg=ma，a越大，k越大，为了保护宇航员的安全，k最大只能取7，把7代入，即得a的最大值．
（2）飞船绕地球做圆周运动所需向心力由地球对飞船的万有引力提供，由牛顿第二定律可以分析答题．

解答 解：（1）由牛顿第二定律可知：${F}_{N}^{\;}-mg=ma$，
由题意可知：$k=\frac{{F}_{N}^{\;}}{mg}$，整理得：mg（k-1）=ma，
将k=7代入解得：$a=60m/{s}_{\;}^{2}$；
（2）设地球的质量为 M，飞船的质量为m，飞船距地面高为h，万有引力充当向心力，由牛顿第二定律得：
$G\frac{Mm}{（R+h）_{\;}^{2}}=m（\frac{2π}{T}）_{\;}^{2}（R+h）$，
在地球表面附近，重力等于万有引力，即：$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=mg$，
解得：$h=\root{3}{\frac{g{T}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{2}}{4{π}_{\;}^{2}}}-R$；
答：（1）假设宇航员在超重状态下载荷值的最大值为K=7，飞船带着宇航员竖直向上发射时的加速度a的最大值为$60m/{s}_{\;}^{2}$
（2）“神舟”六号飞船发射成功后，进入圆形轨道稳定运行，运转一圈的时间为T，地球的半径为R，表面的重力加速度为g，万有引力常量为G，这一圆形轨道距离地面的高度H为$\root{3}{\frac{g{T}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{2}}{4{π}_{\;}^{2}}}-R$

点评 飞船绕地球最圆周运动，万有引力提供向心力，应用万有引力定律、牛顿第二定律即可正确解题