Question

5．在不久的将来，我国科学家乘坐“嫦娥N号”飞上月球（可以认为是均匀球体），为了研究月球，科学家在月球的“赤道”上以大小为v₀的初速度竖直上抛一物体，经过时间t₁，物体回到抛出点；在月球的“两极”处仍以大小为v₀的初速度竖直上抛同一物体，经过时间t₂，物体回到抛出点．已知月球的半径为R，（万有引力常量为G）求：
（1）月球的质量；
（2）月球的自转周期．

Answer 1

分析 （1）在月球的两极上重力与万有引力相等，根据竖直上抛运动求得月球两极处的重力加速度，从而求得月球的质量；
（2）物体在月球赤道上万有引力等于物体在月球赤道上的重力与随月球自转向心力之和，根据竖直上抛运动求得月球赤道处的重力加速度即可求得月球自转周期．

解答 解：根据竖直上抛运动规律可知，在月球赤道上的重力加速度$g=\frac{2{v}_{\;}}{{t}_{1}}$，在月球两极处的重力加速度g′=$\frac{2{v}_{0}}{{t}_{2}}$．
（1）在月球两极物体不随月球自转，此时重力等于物体与月球的万有引力，据此有：
$mg′=G\frac{mM}{{R}^{2}}$
可得月球的质量为：M=$\frac{g′{R}^{2}}{G}$=$\frac{2{v}_{0}{R}^{2}}{G{t}_{2}}$
（2）在月球赤道上，万有引力一部分表现为物体的重力一部分提供随月球自转的向心力，故有：
$mg′=mg+mR\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$
由引可得月球的自转周期为：
T=$2π\sqrt{\frac{R}{g′-g}}$=$2π\sqrt{\frac{R}{\frac{2{v}_{0}}{{t}_{2}}-\frac{2{v}_{0}}{{t}_{1}}}}$=$2π\sqrt{\frac{R{t}_{1}{t}_{2}}{2{v}_{0}（{t}_{1}-{t}_{2}）}}$
答：（1）月球的质量为$\frac{2{v}_{0}{R}^{2}}{G{t}_{2}}$；
（2）月球的自转周期为$2π\sqrt{\frac{R{t}_{1}{t}_{2}}{2{v}_{0}（{t}_{1}-{t}_{2}）}}$．

点评 在星表面重力等于万有引力前提是忽略星球自转的情况下，考虑到星球自转则在星球两极万有引力等于重力，在赤道上万有引力等于重力与随星球自转的向心力之和，这解决本题的关键．