Question

1．如图甲所示，质量分别为m和M的A、B两重物用劲度系数为k的轻质弹簧竖直地连接起来，将它们竖直叠放在水平地面上．
（1）用力将重物A缓慢地竖直向下压一段距离后释放，则向下压至多少距离，重物B才会离开水平地面？
（2）第一次用力将重物下压一段距离释放后，发现当A物体速度最大时，弹簧的弹性势能与A物体的动能相等，最终恰能B物体提离地面，第二次将连接体脱离地面，如图乙所示，并将A物体的质量改为m′，当弹簧为原长，B物体离开地面h时，将两物从静止开始释放，落下过程中弹簧始终保持竖直状态，重物B与地面相碰后的瞬间不离开地面，重物A反弹时能恰好将重物B提离地面，则第一次中物体A的最大速度为多少？

Answer 1

分析 （1）撤去外力后，A以未加压力时的位置为平衡位置做简谐振动，当B刚好要离开地面时，对地面的压力为零，由平衡条件可得弹簧的伸长量，由简谐运动的特点可知，将重物A缓慢地竖直向下压一段距离等于弹簧的伸长量与初始时刻的弹簧压缩量的和
（2）用力将重物下压一段距离释放后，当A物体速度最大时，其加速度为零，弹簧仍处于压缩状态，弹簧的弹性势能转化为A物体的动能，而弹簧的弹性势能与A物体的动能相等，由能量守恒可得，第一次用力将重物下压至最低点时的弹簧的弹性势能为A物体速度最大时弹簧的弹性势能的2倍，由于最终恰能B物体提离地面，此时弹簧的弹力恰好等于B物体的重力；将A物体的质量改为m′，当弹簧为原长，B物体离开地面h时，将两物从静止开始释放，落下过程中弹簧始终保持竖直状态，重物B与地面相碰后的瞬间不离开地面，重物A反弹时能恰好将重物B提离地面，此过程A的重力势能转化弹簧的弹性势能，由于两次均能恰好将重物B提离地面，故在弹簧伸长最大时弹力相等，弹性势能相等，由能量守恒可解．

解答 解：（1）当弹簧处于伸长至最长状态时，B刚好对地面压力为零，故弹簧中弹力F=kx′=Mg，①
得：x′=$\frac{Mg}{k}$，②
初始时刻的弹簧压缩量为：${x}_{1}=\frac{mg}{k}$③
用力将重物A缓慢地竖直向下压的距离：x=x$′{-x}_{1}=\frac{（M-m）g}{k}$④
（2）两次均能恰好将重物B提离地面，故在弹簧伸长最大时弹力相等，弹性势能相等，
由能量守恒可得：E_Pm=m′g（h-x′）
弹簧的弹性势能与A物体的动能相等，故有：$\frac{1}{2}$m′v²=$\frac{1}{2}$E_Pm
联立解得，v=$\frac{\sqrt{gk（hk-Mg）}}{k}$
答：（1向下压至$\frac{（M-m）g}{k}$距离，重物B才会离开水平地面；
（2）第一次中物体A的最大速度为$\frac{\sqrt{gk（hk-Mg）}}{k}$．

点评 本题要注意撤去外力后，A以未加压力时的位置为平衡位置做简谐振动，当B刚好要离开地面时，A处于最高点，忽略空气阻力，系统动能与弹性势能相互转化，的机械能守恒．