Question

17．一种玩具模型如图所示，轨道ABCD位于竖直平面内，AB是半径为R的四分之一光滑圆弧轨道，水平轨道BC段长度为L，斜轨道CD与水平面成α角，且足够长，在C处用光滑的小圆弧与BC连接．今有一质点从AB上高度为h处由静止开始滑下，它与BC、CD间的动摩擦因数均为μ，重力加速度为g，试解决下列问题：

（1）要求质点至少有两次经过B点，则h的最小值为多少？
（2）若α，R，L，h固定不变，而改变μ的值，则最终质点可能停在BC上，也可能停在CD上，试分析μ取值满足什么条件时，质点最终将停在CD上？

Answer 1

分析 （1）先分析滑块在斜面上运动的过程中，摩擦力对滑块做功的特点，然后又功能关系写出相应的公式，即可求出h的最小值；
（2）若滑块停在斜面上，首先要求滑块受到的摩擦力要大于等于重力沿斜面向下的分力，其次要求滑块恰好在斜面处．

解答 解：（1）滑块在斜面上受到重力．支持力和斜面的摩擦力的作用，沿斜面的方向：f=μmgcosα
滑块在斜面上的位移为L′时，对应的水平距离为x，则：x=L′cosα
滑块在斜面上运动的距离为L时，克服摩擦力做的功：W_f=f•L′=μmgcosα•L′=μmg•L′cosα=μmg•x，
滑块在圆弧轨道上不受摩擦力的作用，所以仅仅在水平面上和斜面上受到摩擦力的做功，摩擦力才对滑块做功．
由于摩擦力做功的特点是仅仅与路程、摩擦力的大小有关，所以若质点恰好有两次经过B点，则滑块到达斜面的最高点上的h′处，满足：
mgh=μmgL+μmgx+mgh′
又：μmgL+μmgx=mgh′，h′=xtanα
联立解得：$h=\frac{2μLtanα}{tanα-μ}$
（2）若α，R，L，h固定不变，首先要求滑块受到的摩擦力要大于等于重力沿斜面向下的分力，即：
μmgcoα≥mgsinα
得：μ≥tanα
同时，还要满足滑块必须滑过C点，即滑块在水平面上的位移要大于等于L，即：
mgh≥μmgL
即：$μ≤\frac{h}{L}$
答：（1）要求质点至少有两次经过B点，则h的最小值为$\frac{2μLtanα}{tanα-μ}$；
（2）若α，R，L，h固定不变，当μ满足$tanα≤μ≤\frac{h}{L}$时，质点最终将停在CD．

点评 该题中，滑块经历的过程比较多，尤其是在斜面上的运动，要结合滑块在斜面上的受力，正确写出滑块在斜面上的摩擦力做功的情况，才能正确答题．